Главная > Физика > Введение в теорию упругости для инженеров и физиков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Распространение радиальных колебаний в шаре или сферической оболочке

371. В предыдущих параграфах мы исследовали характер и частоты свободных колебаний простого гармонического типа по времени, происходящие в сплошном изотропном шаре. Теперь рассмотрим характер движения, получающегося тогда, когда в некоторой области внутри шара возникает произвольное возмущение, или когда какое-нибудь возмущение распространяется внутрь шара от его поверхности. Очевидно, что сначала некоторые части шара будут находиться в покое, а по истечении некоторого промежутка времени начнут двигаться.

372. Для того чтобы получить решение уравнения (41), соответствующее этим условиям, мы возьмем «потенциал смещения» (§ 367) в виде некоторой, пока неизвестной функции 9, зависящей от Запишем, что

и обозначим:

Опустив член с мы приведем уравнение (41) к виду

Проинтегрировав, получим:

(Вообще говоря, справа нужно поставить произвольную функцию от но, согласно (I), эта функция не будет влиять на значение следовательно, не нарушая общности, ее можно опустить). Положим:

Уравнение (53) приведется к виду:

Легко проверить, что это уравнение имеет следующее «функциональное решение»:

в котором являются произвольными функциями от

Таким образом общее решение уравнения (41) при отсутствии массовых сил имеет вид:

отсюда:

Вместо мы написали

373. Функцию можно интерпретировать, как «волну», которая, не меняя своей формы, движется с постоянной скоростью с в направлении возрастающих На самом

деле вполне очевидно, что значение функции на расстоянии в момент времени равно ее значению на расстоянии в момент времени

Аналогично функцию можно интерпретировать как волну, которая, не меняя своей формы, движется с постоянной скоростью с в направлении убывающих Согласно (IV) и (54), имеем:

дает

и, следовательно, (VII)

Для обозначения начальных значений величин (в момент времени будем использовать индекс нуль. Из (VI) имеем:

и

откуда

С помощью (VII) можно вычислить и если заданы и, и

Из (VIII) и мы имеем

Таким образом, вид функций можно определить, когда заданы Следовательно, формулы (55) и (56) дают полное представление о тех явлениях, которые могут произойти внутри щара, когда заданы некоторые чисто радиальные начальные возмущения. Формулы (55) и (56)

описывают движение до тех пор, пока возмущение не достигнет свободной, или какой-нибудь закрепленной поверхности, или центра. После того как это произошло, нужно учитывать явление отражения.

Скорость распространения

374. Мы заметили, что фронт волны, т. е. поверхность раздела между возмущенной и невозмущенной областями, в нашем случае сферическая поверхность с центром в начале, движется нормально самой себе (т. е. по радиусу). Скорость этого движения равна:

Волны расширения, если нет вращения, всегда движутся с этой скоростью. Это общее заключение можно вывести из уравнений движения. Волны вращения, если нет расширения, как можно показать, движутся всегда со скоростью

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление