Главная > Физика > Введение в теорию упругости для инженеров и физиков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

РАСПРОСТРАНЕНИЕ КГУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ В КРУГЛЫХ ВАЛАХ И ТРУБАХ

377. Легче изучить распространение волн и явление отражения от неподвижной или свободной границы в том случае, когда передаваемое движение является кручением вала или трубы постоянного круглого поперечного сечения. Мы увидим, что скорость распространения волны в этом случае имеет второе из двух указанных в § 374 значений.

Уравнения движения возьмем в виде (18) § 322 и опустим массовые силы Ось направим по оси вала или трубы. Попробуем удовлетворить уравнениям движения, предполагая, что смещение всюду и все время лежит в плоскости поперечного сечения и направлено перпендикулярно радиусу-вектору Очевидно, мы имеем:

Рис. 101.

Через V обозначено результирующее тангенциальное смещение, зависящее от Отсюда

Из (17) § 322 мы имеем:

Подставляя эти выражения в уравнения движения, мы найдем, что третье из них удовлетворяется тождественно. Другие два совпадают и дают следующее уравнение:

378. В случае статического кручения (гл. V, §§ 155 — 159) было найдено, что смещение V является линейной функцией от 2 и прямо пропорционально Если попробуем принять, что V пропорционально и в нашем случае, то мы из получим:

А это значит, что единственными компонентами напряжения, имеющими отличные от нуля значения, являются В силу наших предположений мы имеем:

Отсюда видно, что результирующее касательное напряжение в поперечном сечении всюду направлено перпендикулярно радиусу-вектору. Таким образом граничные условия задачи удовлетворены, и наши предположения, как видно, оправдываются. Основное уравнение (58) сводится к

где

И мы также, как для уравнения (54) § 372, имеем функциональное решение:

которое дает следующее выражение для компонента вращения 0):

Отсюда, согласно (59), мы получим, что

Для крутящего момента имеем

где полярный момент инерции площади поперечного сечения

379. Функции в равенствах (61) можно интерпретировать так же, как в § 373. Только теперь скорость распространения с будет иметь значение

Этот результат соответствует замечанию, сделанному в § 374, потому что наше решение для смещения дает отличные от нуля компоненты вращения и равную нулю величину объемного расширения

Сначала допустим, что исчезает. В этом случае мы имеем волну вращения, определяемую выражением:

Эта волна движется в направлении Возникшие при этом касательные напряжения равны:

Результирующее касательное напряжение на расстоянии от центра имеет величину:

а крутящий момент имеет значение: (62)

Таким образом напряжения и крутящий момент пропорциональны которая является мгновенной угловой скоростью (ее можно обозначить, например, через да) поперечного сечения вокруг оси вала или трубы. Из (I) мы получим, что

А это показывает, что волны напряжений так же, как и волны смещений, движутся без изменения формы, с постоянной скоростью с.

Следует заметить, что здесь, как и в динамических задачах, рассмотренных ранее, употребляются системы единиц измерения, наиболее щироко принятые в динамике, (Так, в § 370 мы выражали в единицах т. е. в динах на квадратный сантиметр.)

380. Наши результаты легко проследить на частном примере.

Пример

7. (Camb. М. S. Т. 1931.) Сплошной стальной вал с диаметром 7,62 см вращался и делал 600 об/мин., когда один из его концов внезапно остановили.

Показать, что максимальное касательное напряжение, возникшее в валу, приблизительно равно 624 кг\см.

[Очевидно, задача не изменится, если мы пренебрежем постоянным вращением и примем, что одному из концов вала, первоначально находившемуся в покое, внезаппо сообщена угловая скорость, равная

Из формул (62) и (63) мы имеем:

Подставим сюда из условий задачи

тогда

Подставляя (I) и (111) в мы получим в

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление