Главная > Физика > Введение в теорию упругости для инженеров и физиков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Типовые решения для функции напряжений плоской деформации или плоского напряженного состояния

419. Все члены в левой части уравнения (33) имеют относительно один и тот же порядок, поэтому вполне естественно попробовать удовлетворить уравнению, предположив, что функция X имеет вид:

в котором величины к А постоянны, а функция зависит только от 0. Приняв это предположение, получим:

(штрихи означают дифференцирование по 6). Оператор обратится в нуль, и принятое нами выражение для функции X будет являться типовым решением (33), если

или если

где через обозначен оператор Уравнение (II) имеет место, когда

Отсюда следует, что в качестве типового решения можно взять:

где произвольные постоянные.

С другой стороны, если мы предположим, что в принятой для X форме (I) является или то мы найдем, что будет обращаться в нуль, когда

или когда

Таким образом имеем другие формы типовых решений:

где произвольные постоянные.

420. Число постоянных в выражении (34) для типового решения уменьшается при или В этих обоих случаях уравнение (II) сводится к следующему:

Его линейно независимые решения: следовательно, квадратная скобка выражения (34) примет вид:

сюда, как и раньше, входят четыре независимые постоянные. Подобным же образом в выражение (35) число независимых постоянных уменьшается при В этом случае функция X не зависит от 6, основное уравнение (33) сводится к

Проинтегрировав, имеем:

Таким образом, в решение опять входят четыре произвольные постоянные. Для этого решения:

Мы еще должны специально исследовать выражение (35) в случае

Основное уравнение (33) теперь сведется к виду:

Проинтегрировав, получим следующее типовое решение

Оно, как и раньше, содержит четыре произвольные постоянные. Для него имеем:

Если вместо действительного взять чисто мнимое, то в выражении (35) множители заменятся показательными функциями члены вида членами вида

Таким образом в качестве новой формы типового решения можно взять:

где произвольные постоянные. Типовым решением в форме (40) мы не будем пользоваться в этой книге.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление