Главная > Физика > Введение в теорию упругости для инженеров и физиков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ НАПРЯЖЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ

430. Если замкнутое круговое кольцо (или труба) деформируются под действием равномерного давления, приложенного к его цилиндрическим поверхностям, то очевидно, что возникающие при этом напряжения не будут зависеть от угла 6. И вновь можно использовать типовое рещенне (45). В качестве граничных условий мы теперь имеем заданные значения компонента напряжения на двух окружностях радиусов Компонент равен нулю всюду, и поэтому имеется только два граничных условия. Отсюда следует, что мы, по-видимому, получим только два соотнощения между тремя неизвестными постоянными

В связи с этим заметим, что типовое рещенне (45) включает в себя все те случаи, в которых напряжения не зависят от угла 6, а поэтому включает случай, когда рассматриваемое нами замкнутое кольцо (или труба) имеет начальные напряжения. Если мы имеем незамкнутое кольцо, то приложив к его концевым сечениям изгибающие моменты так, как это рассматривалось в § 429, мы можем привести их в соприкосновение и соединить вместе (см. гл. V, § 164). Удалив затем действующие внешние силы, мы получим замкнутое круговое кольцо с начальными напряжениями. Это напряженное состояние и является тем, которое было найдено в предшествующем параграфе.

Если мы хотим исследовать тела без начальных напряжений, то в выражениях (45) мы должны положить Это можно доказать с помощью «второй теоремы о минимуме упругой энергии» (гл. III, § 89) следующим образом: выберем сначала постоянные и так, чтобы компонент удовлетворял граничным условиям. Далее потребуем, чтобы полная упругая энергия была минимальной. Из граничных условий для постоянных и получим выражения, в которые наряду с известными членами войдут члены с равенства нулю которого и потребует условие минимума упругой энергии.

431. Решение задач можно получить проще, если мы будем исходить из основных зависимостей и начинать со смещений (смещения благодаря симметрии системы лежат в радиальных плоскостях). Будем рассматривать случай плоской деформации.

Решение, соответствующее случаю плоского напряженного состояния, можно будет потом легко получить, так как необходимые в каждом частном случае добавочные члены можно вычислить методами § 417. Итак, имеем упругое тело в виде кругового цилиндра (или трубы) и пусть деформация обладает следующими свойствами:

(а) плоские поперечные сечення недеформированного цилиндра или трубы остаются плоскими в деформированном состоянии;

(Ь) продольная деформация (т. е. удлинение в направлении оси) имеет одну и ту же величину в каждой точке тела;

(с) каждое поперечное сечение в своей плоскости подвергается одной и той же деформации;

(d) деформация по своему характеру является чисто радиальным смещением. Все те точки, которые первоначально принадлежали окружности радиуса после деформации располагаются на окружности постоянного радиуса

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление