Главная > Физика > Введение в теорию упругости для инженеров и физиков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Некоторые приложения теоремы, взаимной с первой теоремой Кастилиано

41. Рассмотрим теперь задачу, изображенную на рис. 12, где три одинаковых стержня, имеющие шармиры в составляющие между собой одинаковые углы в точке О. Пусть сила растяжения приложенная к одному из стержней, растягивает его на 1 см. Чему будет равно перемещение точки О под действием вертикального груза

Из соображений симметрии можно заключить, что точка О будет опускаться вертикально. Пусть — ее перемещение в сантиметрах. Тогда при малом укорочение будет 8, а удлинения и будут 8. Следовательно, перемещение точки О вызывает в силу сжатия величины и силы растяжения в и величины Используя формулу (1) для упругих энергий, запасенных в стержнях и получим соответственно

Рис. 12.

Полная упругая энергия, запасенная системой, равняется

где является перемещением, «соответствующим» внешней силе следовательно, по теореме, взаимной с первой теоремой Кастилиано, мы получим

42. Аналогичный пример дан на рис. 13. Стержни прикреплены с помощью шарниров без трения к абсолютно жесткой стене Их упругие свойства таковы, что под действием растягивающей силы стержень длины получает приращение в 0,1 см.

а каждый стержней и длины которых 200 см, — в 0,2 см. Каково будет перемещение точки под действием силы в

Рис. 13.

Здесь (так как мы не можем воспользоваться симметрией) мы должны предполагать, что под действием приложенной силы шарнир получит как горизонтальное, так вертикальное перемещения. Пусть вертикальная, а горизонтальная составляющие перемещения точки в сантиметрах, тогда соответствует а сила, соответствующая 83, равна нулю. И мы, использовав теорему, взаимную с первой теоремой Кастилиано, можем написать:

где и, как и раньше, обозначает полную упругую энергию системы.

не вызывает изменения в длине но оно удлиняет и укорачивает на величину удлиняет на величину , а каждый из на Таким образом, полные удлинения стержней будут следующими:

Из условий задачи мы получим, что силы растяжения в стержнях будут следующими:

Для полной упругой энергии системы, используя (1), мы получим:

Из соотношений (I) мы находим:

Откуда видим, что перемещение точки не имеет горизонтальной составляющей. Итак, перемещение точки направлено вертикально вниз и имеет величину [Ответ.]

С помощью (II) мы получим значения усилий в стержнях. Они будут:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление