Главная > Физика > Введение в теорию упругости для инженеров и физиков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Пример пространственной задачи

44. Теперь мы сможем рассмотреть следующую задачу : на рис. и равносторонние треугольники. Длины их сторон 12 см. Треугольники образованы жесткими стержнями Треугольники связаны друг с другом тремя алюминиевыми трубами Каждая из труб имеет площадь поперечного сечения и длину 24 см. Система стержней и труб образует треугольную призму. Стороны этой призмы расчалены тремя стальными тросами

каждый из которых имеет площадь поперечного сечения в

Вычислить поворот относительно когда к приложен крутящий момент в см, а основание закреплено. Все узлы можно считать шарнирными.

Модуль Юнга для стали равен а для алюминия

Треугольники при этом остаются равносторонними, так как стержни, их образующие, абсолютно жесткие. Соображения симметрии показывают, что плоскости треугольников остаются параллельными, так что все три продольных стержня будут удлиняться на одну и ту же величину.

Рис. 14.

Рис. 14А.

Обозначая это продольное удлинение через мы с помощью (13) для удлинения диагональных тросов получим выражение (составляющая перемещения В относительно А в направлении где в (малый) поворот относительно а а (рис. 14 А) равно см. Следовательно, когда измерены в сантиметрах, мы имеем, что

Используя индексы для обозначения величин, относящихся соответственно к продольным стержням и диагональным тросам, на основании (10) для упругой энергии, запасенной в каждом продольном стержне, имеем выражение

и для упругой энергии, запасенной в каждом диагональном тросе,

Полная упругая энергия

А по теореме, взаимной с первой теоремой Кастилиано, приложенной силе растяжения, соответствующей удлинению фермы как целого и

Воспользовавшись формулами (IV), мы из первого соотношения (V) получим

а из второго (VI)

Подставив заданные значения, мы из первого равенства (VI) после сокращения некоторых числовых коэффициентов получим

откуда

Из второго (VI) мы имеем

Подставляя из (VII) в (VIII), мы получим

откуда

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление