Главная > Физика > Введение в теорию упругости для инженеров и физиков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Напряжения, вызванные совместным действием поперечной нагрузки и силы осевого сжатия

479. Предположим, что на стержень постоянного поперечного сечения, имеющий начальный прогиб действует поперечная нагрузка

Легко показать, что прогиб будет определяться уравнением

где изгибающий момент, соответствующий так то

и где, как и раньше, Мы умножим уравнение (I) на и проинтегрируем его подобно тому, как делали в § 468.

Таким образом найдем, что

где коэффициенты при рядах Фурье (10) соответственно для функций у и у.

Воспользовавшись тем, что равны нулю на обоих концах, мы можем показать, что

Следовательно, равенство (III) можно написать в такой форме:

При полученное соотношение принимает вид выражения § 468, чем и подтверждает последнее. Кроме того, (IV) показывает, что влияние поперечной нагрузки на прогиб у эквивалентно начальному прогибу у, для которого коэффициенты ряда (10) равны:

Возникающие благодаря силе сжатия напряжения изгиба будут пропорциональны изгибающему моменту

или когда мы подставим (10):

Из (IV) мы имеем:

Подставив (VII) в (VI), мы видим, что влияние на напряжение эквивалентно окончательному прогибу у, для которого коэффициенты ряда (10) равны

Как и в § 469, мы можем показать, что если отношение близко к единице, то первый член имеет преобладающее значение в рядах для у и а fortiori для (за счет множителя который встречается в общем члене). Следовательно, мы можем сказать, что влияние поперечной нагрузки на прогибы с большой степенью точности эквивалентно начальному прогибу

а ее влияние на напряжения окончательному прогибу

Если не зависит от х (постоянная поперечная нагрузка), то выражение (30) сводится к следующему:

а выражение (31) к

Пример

5. (Camb. М. S. Т. 1933.) Двутавровая балка представляет собой сжатый элемент фермы. Длина балки 610 см. Размеры поперечного сечения следующие: высота 45,8 см, ширина полки 20,3 см, толщина полки 2,42 см, толщина стенки 1,27 см. Балка должна нести осевую силу сжатия в и поперечную равномерно распределенную нагрузку в плоскости наибольшего момента инерции в Балку можно считать шарнирно опертой на концах и имеющей, когда она свободна от нагрузки, синусоидальный прогиб с амплитудой 1,53 см. Оценить коэффициент безопасности при предельном допускаемом напряжении сжатия в 2820 кг/см. Прогиб балки в плоскости, перпендикулярной поперечной нагрузке, не допускается. Площадь поперечного сечения балки Соответствующий момент инерции см. Модуль Юнга

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление