Главная > Физика > Введение в теорию упругости для инженеров и физиков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Пологие арки постоянного поперечного сечения

59. Интегралы общих формул (28) и (31) можно без труда вычислить приближенными графическими или численными методами. Чисто аналитическое решение было бы непрактично. С другой стороны, если жесткость при изгибе постоянна, то

входящие в формулы интегралы суть

a их можно вычислить весьма просто, если ось арки достаточно полога, так что можно заменить на

Предыдущее решение неточно, так как мы допустили, что полная упругая энергия является следствием только изгиба, т. е. мы пренебрегли упругой энергией, вызванной непосредственно распором в арке. Ошибка, вызванная этим упрощением, в общем, мала. Но, очевидно, она будет больше для пологих арок, чем для арок, имеющих значительный «подъем». Распор учитывается в примере 10 (§ 57), и он будет также рассмотрен в § 64.

60. Рассмотрим двухшарнирную арку параболической формы, имеющую подъем и пролет 5. Пусть отношение достаточно мало. Это предпрлагается для того, чтобы оправдать отождествление (а отсюда Мы вычислим распор который появляется от нагрузки приложенной посредине. При этом мы будем предполагать, что пяты абсолютно жестки и, следовательно, увеличение расстояния совершенно не допускается.

Высота у и горизонтальное расстояние х, измеренные перпендикулярно и вдоль прямой, соединяющей пяты, связаны уравнением

Для мы получаем

отсюда, из соображений симметрии, обозначив через I длину пролета, мы имеем

также

Тогда из (29), отождествляя к полагая мы получаем:

61. Рассмотрим арку той же формы, но заделанную в пятах. Из соображений симметрии мы можем видеть, что вертикальные реакции в опорах не будут меняться, когда нагрузка состоит из одной силы приложенной посредине (так как приращение должно быть одно и то же для обоих концов). Тогда V в уравнении (31) можно заменить нулем.

Выражения (III) и (IV) § 60 сохраняются. Обозначая длину пролета через I, мы имеем:

Из второго и третьего соотношений (31), отождествляя и опуская члены с V, при В постоянном и в случае абсолютно жестких пят мы получим:

Из этих соотношений мы имеем:

что с помощью (VII) и (VI) дает: I

Откуда мы имеем:

что может быть легко проверено.

Первое из равенств (31) при удовлетворяется как и раньше, заменяется на и это убеждает нас в том, что наше предположение действительно выполняется. Если силы приложены не посредине, то мы, конечно, должны рассматривать V как величину, отличную от нуля, и использовать все три уравнения (31).

Пример

13. (Camb. М. S.T. 1932.) Имеем двухшарнирпую арку (рис. 21) постоянного поперечного сечения параболической формы. Доказать, что горизонтальный распор в неподвижных пятах, возникающий вследствиедействия сосредоточенной вертикальной силы приложенной в указанном сечении, будет

При этом предположить, что изменение пролета происходит только вследствие изгибающего момента и что длины по параболе не отличаются от длин своих горизонтальных проекций. (N. В. При этом предположении на рис. 21 можно приравнять длипе пролета арки

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление