Главная > Физика > Введение в теорию упругости для инженеров и физиков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Начальные напряжения иного происхождения. Температурные напряжения

78. Способ, с помощью которого в составном теле, указанном на рис. 27, были получены начальные напряжения, несколько искусствен. Но, условия, при которых в том же теле могут возникнуть начальные напряжения, можно создать совсем иным и более близким к практике путем.

Предположим, например, что стержень В может свободно проходить сквозь отверстия в жестких крышках и имеет

резьбу с гайками (рис. 29). Если гайки завертывают так, что сближаются друг с другом, то труба А сжимается и оказывает сопротивление этому сближению. Пусть гайки завернуты, сблизились на определенную величину. Как и раньше, равновесие наступит (при отсутствии внешних сил) тогда, когда сила растяжения в В будет равна по величине силе сжатия в А, т. е. когда соотношение (1) § 75 удовлетворяется. В уравнении (1), как и раньше, X представляет собой величину, на которую эффективная длина В короче той длины, которую в должен был бы иметь для того, чтобы могли бы подходить друг к другу без начальных напряжений.

Рис. 29.

Таким образом задача (с теоретической точки зрения) не изменилась.

Если труба и стержень имеют различные коэффициенты линейного расширения, то, изменяя температуру, можно создать те же самые условия. Обратимся к рис. 29. Предположим, что при температуре гайки завернуты так, что крышки как раз касаются (без давления) трубы. Затем температуру повысили до 63. Если А могла бы свободно удлиняться, то ее конец испытал бы относительное удлинение температурный коэффициент линейного расширения. Полное удлинение было бы (62 — Полное удлинение В (если этот стержень мог бы свободно расшираться) аналогично было бы Пусть

Теперь длина В при температуре будет на X меньше той величины, при которой стержень В можно было бы поставить на место без напряжения. В трубе А возникнет сила сжатия а в стержне В сила растяжения Величина как и раньше, определяется соотношением (1).

79. Рис. 29 взят из заданий, предложенных на выпускных экзаменах в Оксфорде (1932). Решим это задание в качестве примера.

Длинная латунная труба, имеющая средний диаметр 7,62 см и толщину 0,317 см, закрывается на концах, как показано на рис. 29, шайбами, соединенными стальной тягой с диаметром 2,54 см. Гайки вначале затянуты так, что в трубе вызывается сжимающее напряжение величины Затем к концам тяги прикладывается растягивающая сила, равная Предполагая, что шайбы на концах абсолютно жесткие, вычислить:

I. Окончательные напряжения в трубе и тяге при постоянной температуре;

II. Напряжения в обеих деталях, когда температура возрастает на 50°С (растягивающая сила при этом действует).

Для стали модуль Юнга температурный коэффициент линейного расширения на

Для латуни

Полная растягивающая сила в трубе в тоннах равна

Полная растягивающая сила в тяге должна иметь ту же величину, и потому напряжение в тяге в килограммах на сантиметр равно

Если приложена растягивающая сила, то как тяга, так и труба испытывают одно и то же удлинение В § 77 мы видели, что на величину этого удлинения не влияют начальные напряжения. Обе детали достаточно длинные и поэтому в качестве эффективной длины для обеих деталей мы можем взять одну и ту же величину I

хотя тяга, строго говоря, немного длиннее трубы. И тогда из (II) главы II мы будем иметь:

где относятся к тяге, к трубе. Очевидно,

Кроме того, мы имеем следующее соотношение:

Из (III) и (IV) получим, что

Дополнительное напряжение в тяге

и уменьшение сжимающего напряжения в трубе (V)

П. Температура повышается на 50°, тогда относительное удлинение тяги, если оно ничем не стеснено, будет

а относительное удлинение трубы, если ничем не стеснено, будет

Через I, как и раньше, обозначим эффективную длину тяги и трубы. Повышение температуры фактически укорачивает тягу на

Согласно § 78, подставим эту величину вмесго X в уравнение (I) § 75. Мы получим (индексы имеют прежние значения):

Последнее равенство получится, когда для мы подставим выражения (2). Здесь Робозначает дополнительную склу растяжения

в тяге и дополнительную силу сжатия в трубе, возникающие при повышении температуры. Записав (VI) в форме

[последнее равенство имеет место согласно (111)] мы для дополнительного растягивающего напряжения в тяге имеем:

Соответствующее увеличение сжимающего напряжения в трубе будет

(II), (V) и (VII) дают решение нашей задачи. Приведем сводку имеющихся напряжений

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление