существует прямая
проходящая через
и такая, что
Доказательство. Так как
действует в
разрывно, то
не имеет неподвижных точек и точки
все различны между собой.
Если
то пусть
средняя точка сегмента, соединяющего
Тогда
Так как
изометрия пространства
то
и, следовательно,
Применяя неравенство треугольника, получаем
Поскольку
из (4) и (5) следует, что
и, значит, точки
лежат на одной прямой, которую мы обозначим
Так как на
лежат и
то
инвариантна относительно
Так как
инвариантна относительно
то
при любом натуральном
Пусть
тогда, пользуясь неравенством треугольника и свойством аддитивности
вдоль
получаем
Поэтому
Поскольку
не эллиптичен, он гиперболичен.