Главная > Математика > Вещественно аналитическая теория пространства Тейхмюллера
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Теорема единственности Тейхмюллера

3.1. Геометрия квадратичных дифференциалов

Пусть риманова поверхность. Квадратичным дифференциалом на называется инвариантная относительно замены координат форма вида где локальная; координата на Инвариантность со означает, что если другая локальная координата на выражение со относительно этой координаты, то Дифференциал со называется голоморфным, если голоморфна функция

Ограничимся случаем, когда — компактная поверхность рода больше 1, а принадлежит пространству голоморфных квадратичных дифференциалов на На языке когомологий с коэффициентами в пучках, которым мы, впрочем, не будем далее пользоваться, где каноническое расслоение поверхности

Заметим, что для со наличие нулей и их порядки не зависят от выбора локальной координаты. Обозначим множество нулей дифференциала со через

Пусть Если локальная координата в окрестности точки такая, что то выражение

при некотором выборе знака квадратного корня также определяет локальную координату в окрестности точки (в частности, отображение голоморфно и инъективно в окрестности Она называется сокоординатой в окрестности Кривая (соответственно называется горизонтальной (соответственно вертикальной) линией, проходящей через Эти кривые однозначно характеризуются как проходящие

через аналитические кривые, на которых соответственно и Так как эта конструкция не зависит от выбора локальной координаты на поверхности получаем два транс нереальных слоения на поверхности

Исследуем структуру особенностей этих слоений. Если со имеет нуль порядка в точке в терминах некоторой локальной координаты имеем в окрестности

Когда четно, можно выбрать однозначную ветвь и тогда отображение окрестности точки в окрестность нуля есть -листное накрытие, разветвленное над точкой 0. Поэтому состоит из аналитических лучей, которые выходят из под одинаковыми углами между соседними лучами. Если нечетно, то положим т. е. построим двулистное накрытие окрестности точки Тогда

есть локально квадратичный дифференциал на а

есть локальная координата на При этом если вещественно, то и наоборот. Далее состоит из аналитических кривых, проходящих через Проектируя их на получим аналитических ветвей кривых, выходящих из точки под равными углами.

Те же рассуждения показывают, что слоение вертикальными линиями имеет особенности того же типа в точках, где Заметим, что умножение со на положительную константу не меняет слоения.

Определенные выше слоения поверхности называются соответственно -горизонтальным и -вертикалоным слоениями. Их слои не имеют глобальной ориентации, так как, вообще говоря, невозможно выбрать знак определенный всюду. Это вызывает некоторые затруднения (см. доказательство леммы 2.5 ниже). Пусть двулистное накрытие на которое поднимается как однозначный дифференциал; называется ориентирующим накрытием поверхности При переходе к 5° слой поднимается в слой, но на они уже допускают согласованную ориентацию.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление