Ãëàâíàÿ > Ôèçèêà > Âèáðàöèè â òåõíèêå, Ò. 1. Êîëåáàíèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô
Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Ìàêåòû ñòðàíèö

2. ÌÅÒÎÄ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÔÓÍÊÖÈÉ ËßÏÓÍÎÂÀ

Îáùàÿ õàðàêòåðèñòèêà ìåòîäà. Êëàññè÷åñêèé ìåòîä ôóíêöèé Ëÿïóíîâà èñïîëüçóþò äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñòðîãèõ äîñòàòî÷íûõ (èíîãäà íåîáõîäèìûõ è äîñòàòî÷íûõ) óñëîâèé óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè.  îñíîâå ìåòîäà ëåæèò èäåÿ ïîñòðîåíèÿ òàêèõ ôóíêöèé, ïî çíàêó ïðîèçâîäíûõ êîòîðûõ âäîëü ôàçîâûõ òðàåêòîðèé ìîæíî ñóäèòü îá óñòîé÷èâîñòè íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ. Åñëè ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêîé, òî íåîáõîäèìî èññëåäîâàòü ïîâåäåíèå âñåãî ìíîæåñòâà ðåàëèçàöèé, ñìåæíûõ ñ íåâîçìóùåííûì äâèæåíèåì [56, 142].

Ìåòîä ñòîõàñòè÷åñêèõ ôóíêöèé Ëÿïóíîâà ðàçðàáîòàí ïðèìåíèòåëüíî ê ñèñòåìàì, ýâîëþöèÿ êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äèôôóçèîííûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ, ðàññìîòðåííûé â ãë. XVII. Ñóùåñòâåííóþ ðîëü â ýòîì ìåòîäå èãðàåò ïðîèçâîäÿùèé

äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà, çàäàííûé íà ìíîæåñòâå ôóíêöèé îò ïðîöåññà è âðåìåíè

ãäå êîýôôèöèåíòû ñíîñà; êîýôôèöèåíòû äèôôóçèè [ñì. (37) â ãë. XVII]. Îïåðàòîð ñîâïàäàåò ñ îïåðàòîðîì îáðàòíîãî óðàâíåíèÿ Êîëìîãîðîâà [ñì. (38) â ãë. XVII], åñëè îíî ïðåäñòàâëåíî â âèäå  ëèòåðàòóðå ïî òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ïðîèçâîäÿùèì îïåðàòîðîì íàçûâàþò òàêæå îïåðàòîð Âûðàæåíèå èìååò ñìûñë ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ôóíêöèè ïðè óñëîâèè, ÷òî â ìîìåíò âðåìåíè ïðîöåññ èìååò çíà÷åíèå Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíà õàðàêòåðèçóåò ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ôóíêöèè íà ìíîæåñòâå âñåõ òðàåêòîðèé ñèñòåìû, ïðîõîäÿùèõ â ìîìåíò âðåìåíè ÷åðåç òî÷êó ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà

Çàäà÷à ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè òàêèõ ôóíêöèé ÷òîáû ïî çíàêó â íåêîòîðîé îáëàñòè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ìîæíî áûëî ñóäèòü î ñòîõàñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóþò ôóíêöèè, àíàëîãè÷íûå êëàññè÷åñêèì ôóíêöèÿì Ëÿïóíîâà.

Ôóíêöèþ çàäàííóþ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ïîëóïðÿìîé íàçûâàþò ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé (ïî Ëÿïóíîâó), åñëè â ýòîé îêðåñòíîñòè âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ïðè ïðè Ôóíêöèåé, èìåþùåé áåñêîíå÷íî ìàëûé âåðõíèé ïðåäåë (ðàâíîìåðíî ìàëîé ïî íàçûâàþò ôóíêöèþ åñëè äëÿ ëþáîãî ñóùåñòâóåò òàêîå ÷òî ïðè ëþáîì èìååò ìåñòî

Íèæå ñôîðìóëèðîâàíû òðè òåîðåìû îá óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ ñòîõàñòè÷åñêîé ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ íåïðåðûâíûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ ñ ïðîèçâîäÿùèì îïåðàòîðîì [56, 112].

Òåîðåìû îá óñòîé÷èâîñòè ïî âåðîÿòíîñòè. Ïóñòü â îêðåñòíîñòè ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæàùàÿ îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà è óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïðè óñëîâèþ Òîãäà ðåøåíèå óñòîé÷èâî ïî âåðîÿòíîñòè.

Ïóñòü â îêðåñòíîñòè ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ èìåþùàÿ áåñêîíå÷íî ìàëûé ïðåäåë ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ôóíêöèÿ, ïðèíàäëåæàùàÿ îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà è óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïðè óñëîâèþ Òîãäà ðåøåíèå àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî ïî âåðîÿòíîñòè.

Òåîðåìà îá àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ëèíåéíûõ ñèñòåì. Ïóñòü äëÿ êàêîé-íèáóäü ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ñ êîýôôèöèåíòàìè — íåïðåðûâíûìè îãðàíè÷åííûìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè — íàøëàñü êâàäðàòè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ôîðìà óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ

Òîãäà ðåøåíèå áóäåò àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì.

Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøóþ ëèíåéíóþ êîëåáàòåëüíóþ ñèñòåìó, êîýôôèöèåíò äåìïôè ðîâàíèÿ êîòîðîé «çàøóìëåè» áåëûì øóìîì èíòåíñèâíîñòüþ

Ñèñòåìà, âîçáóæäàåìàÿ áåëûìè øóìàìè, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà òàêæå â âèäå

ãäå íåçàâèñèìûå íîðìàëüíûå áåëûå øóìû åäèíè÷íîé èíòåíñèâíîñòè; Êîýôôèöèåíòû ñèîñà õ â çàâèñèìîñòè îò îïðåäåëåíèÿ ñòîõàñòè÷åñêîãî èíòåãðàëà ìîæíî çàïèñàòü ïî ðàçèîìó. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ñòîõàñòè÷åñêîãî èíòåãðàëà Èòî [28]

Åñëè èñïîëüçîâàòü ñèììåòðèçîâàííûé ñòîõàñòè÷åñêèé èíòåãðàë Ñòðàòîíîâè÷à [103], òî

 ïåðâîì ñëó÷àå ïðîöåññû íàçûâàþòñÿ øóìàìè âî âòîðîì — øóìàìè Ñòðàòîíîâè÷à. Êîýôôèöèåíòû äèôôóçèè â îáîèõ ñëó÷àÿõ

Òðàêòóÿ áåëûé øóì ïî Ñòðàòîíîâè÷ó, íàéäåì êîýôôèöèåíòû äèôôóçèè è ñíîñà

Îòñþäà ïðîèçâîäÿùèé îïåðàòîð (14)

Ïðèìåíèì òåîðåìó îá àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Êâàäðàòè÷íûå ôîðìû èùåì â âèäå

ãäå íåîïðåäåëåííûå êîýôôèöèåíòû, êîòîðûå íàõîäÿò èç óñëîâèÿ (15), ò. å.

Ôîðìà áóäåò ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, åñëè

Ýòî äàåò äîñòàòî÷íîå óñëîâèå äëÿ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ñèñòåìû (16) â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì [112].

<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Îãëàâëåíèå