2. ÌÅÒÎÄ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÔÓÍÊÖÈÉ ËßÏÓÍÎÂÀ
Îáùàÿ õàðàêòåðèñòèêà ìåòîäà. Êëàññè÷åñêèé ìåòîä ôóíêöèé Ëÿïóíîâà èñïîëüçóþò äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñòðîãèõ äîñòàòî÷íûõ (èíîãäà íåîáõîäèìûõ è äîñòàòî÷íûõ) óñëîâèé óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè.  îñíîâå ìåòîäà ëåæèò èäåÿ ïîñòðîåíèÿ òàêèõ ôóíêöèé, ïî çíàêó ïðîèçâîäíûõ êîòîðûõ âäîëü ôàçîâûõ òðàåêòîðèé ìîæíî ñóäèòü îá óñòîé÷èâîñòè íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ. Åñëè ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêîé, òî íåîáõîäèìî èññëåäîâàòü ïîâåäåíèå âñåãî ìíîæåñòâà ðåàëèçàöèé, ñìåæíûõ ñ íåâîçìóùåííûì äâèæåíèåì [56, 142].
Ìåòîä ñòîõàñòè÷åñêèõ ôóíêöèé Ëÿïóíîâà ðàçðàáîòàí ïðèìåíèòåëüíî ê ñèñòåìàì, ýâîëþöèÿ êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äèôôóçèîííûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ, ðàññìîòðåííûé â ãë. XVII. Ñóùåñòâåííóþ ðîëü â ýòîì ìåòîäå èãðàåò ïðîèçâîäÿùèé
äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà, çàäàííûé íà ìíîæåñòâå ôóíêöèé
îò ïðîöåññà
è âðåìåíè
ãäå
êîýôôèöèåíòû ñíîñà;
êîýôôèöèåíòû äèôôóçèè [ñì. (37) â ãë. XVII]. Îïåðàòîð
ñîâïàäàåò ñ îïåðàòîðîì îáðàòíîãî óðàâíåíèÿ Êîëìîãîðîâà [ñì. (38) â ãë. XVII], åñëè îíî ïðåäñòàâëåíî â âèäå
 ëèòåðàòóðå ïî òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ïðîèçâîäÿùèì îïåðàòîðîì íàçûâàþò òàêæå îïåðàòîð
Âûðàæåíèå
èìååò ñìûñë ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ôóíêöèè
ïðè óñëîâèè, ÷òî â ìîìåíò âðåìåíè
ïðîöåññ èìååò çíà÷åíèå
Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíà
õàðàêòåðèçóåò ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ôóíêöèè
íà ìíîæåñòâå âñåõ òðàåêòîðèé ñèñòåìû, ïðîõîäÿùèõ â ìîìåíò âðåìåíè
÷åðåç òî÷êó ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà
Çàäà÷à ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè òàêèõ ôóíêöèé
÷òîáû ïî çíàêó
â íåêîòîðîé îáëàñòè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ìîæíî áûëî ñóäèòü î ñòîõàñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóþò ôóíêöèè, àíàëîãè÷íûå êëàññè÷åñêèì ôóíêöèÿì Ëÿïóíîâà.
Ôóíêöèþ
çàäàííóþ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ïîëóïðÿìîé
íàçûâàþò ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé (ïî Ëÿïóíîâó), åñëè â ýòîé îêðåñòíîñòè âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ
ïðè
ïðè
Ôóíêöèåé, èìåþùåé áåñêîíå÷íî ìàëûé âåðõíèé ïðåäåë (ðàâíîìåðíî ìàëîé ïî
íàçûâàþò ôóíêöèþ
åñëè äëÿ ëþáîãî
ñóùåñòâóåò òàêîå
÷òî ïðè ëþáîì
èìååò ìåñòî
Íèæå ñôîðìóëèðîâàíû òðè òåîðåìû îá óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ
ñòîõàñòè÷åñêîé ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ íåïðåðûâíûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ
ñ ïðîèçâîäÿùèì îïåðàòîðîì
[56, 112].
Òåîðåìû îá óñòîé÷èâîñòè ïî âåðîÿòíîñòè. Ïóñòü â îêðåñòíîñòè
ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ôóíêöèÿ
ïðèíàäëåæàùàÿ îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà
è óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïðè
óñëîâèþ
Òîãäà ðåøåíèå
óñòîé÷èâî ïî âåðîÿòíîñòè.
Ïóñòü â îêðåñòíîñòè
ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ èìåþùàÿ áåñêîíå÷íî ìàëûé ïðåäåë ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ôóíêöèÿ, ïðèíàäëåæàùàÿ îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà
è óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïðè
óñëîâèþ
Òîãäà ðåøåíèå
àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî ïî âåðîÿòíîñòè.
Òåîðåìà îá àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ëèíåéíûõ ñèñòåì. Ïóñòü äëÿ êàêîé-íèáóäü ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû
ñ êîýôôèöèåíòàìè — íåïðåðûâíûìè îãðàíè÷åííûìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè — íàøëàñü êâàäðàòè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ôîðìà
óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ
Òîãäà ðåøåíèå
áóäåò àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì.
Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøóþ ëèíåéíóþ êîëåáàòåëüíóþ ñèñòåìó, êîýôôèöèåíò äåìïôè ðîâàíèÿ êîòîðîé «çàøóìëåè» áåëûì øóìîì
èíòåíñèâíîñòüþ
Ñèñòåìà, âîçáóæäàåìàÿ áåëûìè øóìàìè, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà òàêæå â âèäå
ãäå
íåçàâèñèìûå íîðìàëüíûå áåëûå øóìû åäèíè÷íîé èíòåíñèâíîñòè;
Êîýôôèöèåíòû ñèîñà õ â çàâèñèìîñòè îò îïðåäåëåíèÿ ñòîõàñòè÷åñêîãî èíòåãðàëà ìîæíî çàïèñàòü ïî ðàçèîìó. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ñòîõàñòè÷åñêîãî èíòåãðàëà Èòî [28]
Åñëè èñïîëüçîâàòü ñèììåòðèçîâàííûé ñòîõàñòè÷åñêèé èíòåãðàë Ñòðàòîíîâè÷à [103], òî
 ïåðâîì ñëó÷àå ïðîöåññû
íàçûâàþòñÿ øóìàìè
âî âòîðîì — øóìàìè Ñòðàòîíîâè÷à. Êîýôôèöèåíòû äèôôóçèè â îáîèõ ñëó÷àÿõ
Òðàêòóÿ áåëûé øóì
ïî Ñòðàòîíîâè÷ó, íàéäåì êîýôôèöèåíòû äèôôóçèè è ñíîñà
Îòñþäà ïðîèçâîäÿùèé îïåðàòîð (14)
Ïðèìåíèì òåîðåìó îá àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Êâàäðàòè÷íûå ôîðìû
èùåì â âèäå
ãäå
íåîïðåäåëåííûå êîýôôèöèåíòû, êîòîðûå íàõîäÿò èç óñëîâèÿ (15), ò. å.
Ôîðìà
áóäåò ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, åñëè
Ýòî äàåò äîñòàòî÷íîå óñëîâèå äëÿ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ñèñòåìû (16) â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì [112].