Ãëàâà XX. ÑËÓ×ÀÉÍÛÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ
1. ÌÅÒÎÄÛ ÌÎÌÅÍÒÍÛÕ ÔÓÍÊÖÈÉ
Ñòîõàñòè÷åñêèå êðàåâûå çàäà÷è â òåîðèè êîëåáàíèé. Ðàññìîòðèì ìåòîäû ðåøåíèÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ ñëó÷àéíûõ ïîëåé
ôóíêöèé âðåìåíè
è êîîðäèíàò õ, çàäàííûõ â îáëàñòè
ïðîñòðàíñòâà
Îïåðàòîðíàÿ ôîðìà çàïèñè óðàâíåíèé èìååò âèä
ãäå
ñëó÷àéíîå ïîëå ñ çàäàííûìè âåðîÿòíîñòíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè;
ëèíåéíûé äåòåðìèíèñòè÷åñêèé îïåðàòîð. Ðàññìîòðèì òàêæå â òåðìèíàõ òåîðèè êîëåáàíèé ëèíåéíûõ ñèñòåì ñèñòåìû áîëåå ÷àñòíîãî âèäà
Çäåñü
ñîîòâåòñòâåííî èíåðöèîííûé, äèññèïàòèâíûé è êâàçèóïðóãèé îïåðàòîðû, ñâîéñòâà êîòîðûõ è êîíêðåòíûå ðåàëèçàöèè áûëè ïîäðîáíî ðàññìîòðåíû â ãë.
è äàëåå»
Ïðèìåð. Ïóñòü óïðóãèé ñòåðæåíü ïîñòîÿííîãî ñå÷åíèÿ ñîâåðøàåò ñëó÷àéíûå èçãèáíûå êîëåáàíèÿ ïîä äåéñòâèåì ñëó÷àéíîé ïîïåðå÷íîé íàãðóçêè
Çàïèøåì óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè ïðîãèáà
â âèäå
Êîíöû ñòåðæíÿ
áóäåì ñ÷èòàòü îïåðòûìè. Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíûå êîëåáàíèÿ, êîòîðûå íà÷èíàþòñÿ èç ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ, à òàêæå óñòàíîâèâøèåñÿ êîëåáàíèÿ ïîä äåéñòâèåì ñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé íàãðóçêè, êîãäà íà ðåøåíèå íàêëàäûâàåòñÿ òðåáîâàíèå ñòàöèîíàðíîñòè âî âðåìåíè. Ïðèìåì, ÷òî íàãðóçêà
äåëüòà-êîððåëèðîâàíà êàê ïî êîîðäèíàòå, òàê è ïî âðåìåíè, ïðè÷åì
ãäå èíòåíñèâíîñòü
Ìåòîä äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî ìîìåíòíûõ ôóíêöèé. Ìåòîä îòëè÷àåòñÿ îò îïèñàííîãî ðàíåå (ñì. ãë. XVIII) òåì, ÷òî îïåðàòîð
äåéñòâóåò íà ôóíêöèè êîîðäèíàò õ è âðåìåíè
Íàïðèìåð, óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî ìîìåíòíûõ ôóíêöèé âòîðîãî ïîðÿäêà ïðèíèìàþò âèä
ãäå âûðàæåíèÿ
è
ïîíèìàþòñÿ â ñìûñëå ïðÿìîãî (òåíçîðíîãî) ïðîèçâåäåíèÿ. Óðàâíåíèå (5) âêëþ÷àåò â ñåáÿ òàêæå îñðåäíåííûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ.
Äëÿ ðàññìîòðåííîãî âûøå ïðèìåðà óðàâíåíèå, ñâÿçûâàþùåå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè íàãðóçêè
è ïðîãèáà
ò. å. ôóíêöèè
áóäåò ñëåäóþùèì
Äëÿ êîëåáàíèé, íà÷èíàþùèõñÿ èç ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ, ãðàíè÷íûå è íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ââîäÿòñÿ òàê:
Ñòàöèîíàðíûå ñëó÷àéíûå êîëåáàíèÿ. Åñëè
è
— ñòàöèîíàðíûå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû, òî êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè çàâèñÿò îò ðàçíîñòè
(à íå îò êàæäîãî àðãóìåíòà ïîðîçíü) Ââîäÿ íîâóþ ïåðåìåííóþ
âìåñòî óðàâíåíèÿ (7) ïîëó÷èì
Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ
îñòàþòñÿ áåç èçìåíåíèÿ, à âìåñòî ïðåæíèõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé íóæèî âçÿòü ñëåäóþùèå:
Åôòè âõîäÿùèå â (10) ïðîèçâîäíûå íå ñóùåñòâóþò, òî ñëåäóåò âçÿòü ñîîòâåòñòâóþùèå óñëîâèÿ ñêà÷êà ïðè
Óðàâíåíèå (9) ñ óñëîâèÿìè (10) ëåãêî ðåøàåòñÿ ïî ìåòîäó ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ. Åñëè íàãðóçêà
çàäàíà ñîîòíîøåíèÿìè (4), òî ïîëó÷àåì
ãäå
ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû ñòåðæèÿ, âû÷èñëåííûå ñ ïîïðàâêîé íà äèññè ïàöèþ.
Ìåòîä ôóíêöèé Ãðèíà. Ìåòîä ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì ìåòîäà èìïóëüñíûõ ïåðåõîäíûõ ôóíêöèé (ñì. ãë. XVIII). Çà èñõîäíîå â ýòîì ìåòîäå ïðèíÿòî óðàâíåíèå (1), ðàçðåøåííîå îòíîñèòåëüíî
Äëÿ ðàñêðûòèÿ êîíêðåòíîãî ñîäåðæàíèÿ îïåðàòîðà
íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü ôóíêöèþ Ãðèíà (òåíçîð Ãðèíà) äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé êðàåâîé çàäà÷è. Åñëè è
è
ñêàëÿðíûå ïîëÿ, òî ôóíêöèþ Ãðèíà
îïðåäåëÿþò êàê ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
óäîâëåòâîðÿþùåå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì äëÿ è
è íóëåâûì íà÷àëüíûì óñëîâèÿì ïðè
Ïî ïåðåìåííûì õ è
ôóíêöèÿ
ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé Ãðèíà â îáû÷íîì ñìûñëå, ïî ïåðåìåííûì
èìïóëüñíîé ïåðåõîäíîé ôóíêöèåé. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (12) çàïèøåì â âèäå
Ðåàëèçàöèþ îïåðàòîðíîãî ñîîòíîøåíèÿ (13) â ñëó÷àå, êîãäà
è
âåêòîðíûå ïîëÿ, çàïèñûâàþò ïðè ïîìîùè òåíçîðà Ãðèíà ñ. êîìïîíåíòàìè
Âûðàæåíèÿ òèïà (14) è (15) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
ãäå ïåðâàÿ ïàðà àðãóìåíòîâ ó ôóíêöèè (òåíçîðà) Ãðèíà âûïèñàíà íàä çíàêîì îïåðàòîðà, âòîðàÿ — ïîä ýòèì çíàêîì. Îñðåäíÿÿ ñîîòíîøåíèå (16), à òàêæå ñîîòíîøåíèÿ, ïîëó÷àåìûå ïî÷ëåííûì ïåðåìíîæåíèåì ïðè ðàçëè÷íûõ
ïîëó÷èì ôîðìóëû äëÿ ìîìåíòíûõ ôóíêöèé âèáðàöèîííîãî ïîëÿ. Òàê, äëÿ ìîìåíòíûõ ôóíêöèé âòîðîãî ïîðÿäêà
Äëÿ ðàññìîòðåííîãî âûøå ïðèìåðà ôóíêöèÿ Ãðèíà èìååò âèä
Ïîäñòàíîâêà ôîðìóë (4) è (18) â ñîîòíîøåíèå òèïà (17) äëÿ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ïðèâîäèò ê ôîðìóëå (11)