Глава XX. СЛУЧАЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ

1. МЕТОДЫ МОМЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ

Стохастические краевые задачи в теории колебаний. Рассмотрим методы решения стохастических краевых задач для случайных полей функций времени и координат х, заданных в области пространства Операторная форма записи уравнений имеет вид

где случайное поле с заданными вероятностными характеристиками; линейный детерминистический оператор. Рассмотрим также в терминах теории колебаний линейных систем системы более частного вида

Здесь соответственно инерционный, диссипативный и квазиупругий операторы, свойства которых и конкретные реализации были подробно рассмотрены в гл. и далее»

Пример. Пусть упругий стержень постоянного сечения совершает случайные изгибные колебания под действием случайной поперечной нагрузки Запишем уравнение относительно функции прогиба в виде

Концы стержня будем считать опертыми. Рассмотрим случайные колебания, которые начинаются из состояния покоя, а также установившиеся колебания под действием стационарной случайной нагрузки, когда на решение накладывается требование стационарности во времени. Примем, что нагрузка дельта-коррелирована как по координате, так и по времени, причем

где интенсивность

Метод дифференциальных уравнений относительно моментных функций. Метод отличается от описанного ранее (см. гл. XVIII) тем, что оператор действует на функции координат х и времени Например, уравнения относительно моментных функций второго порядка принимают вид

где выражения и понимаются в смысле прямого (тензорного) произведения. Уравнение (5) включает в себя также осредненные граничные условия.

Для рассмотренного выше примера уравнение, связывающее корреляционные функции нагрузки и прогиба т. е. функции

будет следующим

Для колебаний, начинающихся из состояния покоя, граничные и начальные условия вводятся так:

Стационарные случайные колебания. Если и — стационарные случайные процессы, то корреляционные функции зависят от разности (а не от каждого аргумента порознь) Вводя новую переменную вместо уравнения (7) получим

Граничные условия остаются без изменения, а вместо прежних начальных условий нужио взять следующие:

Ефти входящие в (10) производные не существуют, то следует взять соответствующие условия скачка при Уравнение (9) с условиями (10) легко решается по методу разделения переменных. Если нагрузка задана соотношениями (4), то получаем

где собственные частоты стержия, вычисленные с поправкой на дисси пацию.

Метод функций Грина. Метод является естественным обобщением метода импульсных переходных функций (см. гл. XVIII). За исходное в этом методе принято уравнение (1), разрешенное относительно

Для раскрытия конкретного содержания оператора необходимо построить функцию Грина (тензор Грина) для соответствующей краевой задачи. Если и и скалярные поля, то функцию Грина определяют как решение уравнения

удовлетворяющее граничным условиям для и и нулевым начальным условиям при По переменным х и функция является функцией Грина в обычном смысле, по переменным импульсной переходной функцией. Решение уравнения (12) запишем в виде

Реализацию операторного соотношения (13) в случае, когда и векторные поля, записывают при помощи тензора Грина с. компонентами

Выражения типа (14) и (15) можно представить в виде

где первая пара аргументов у функции (тензора) Грина выписана над знаком оператора, вторая — под этим знаком. Осредняя соотношение (16), а также соотношения, получаемые почленным перемножением при различных получим формулы для моментных функций вибрационного поля. Так, для моментных функций второго порядка

Для рассмотренного выше примера функция Грина имеет вид

Подстановка формул (4) и (18) в соотношение типа (17) для корреляционной функции приводит к формуле (11)