Ãëàâíàÿ > Ôèçèêà > Âèáðàöèè â òåõíèêå, Ò. 1. Êîëåáàíèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô
Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Ìàêåòû ñòðàíèö

Ãëàâà XX. ÑËÓ×ÀÉÍÛÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ

1. ÌÅÒÎÄÛ ÌÎÌÅÍÒÍÛÕ ÔÓÍÊÖÈÉ

Ñòîõàñòè÷åñêèå êðàåâûå çàäà÷è â òåîðèè êîëåáàíèé. Ðàññìîòðèì ìåòîäû ðåøåíèÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ ñëó÷àéíûõ ïîëåé ôóíêöèé âðåìåíè è êîîðäèíàò õ, çàäàííûõ â îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà Îïåðàòîðíàÿ ôîðìà çàïèñè óðàâíåíèé èìååò âèä

ãäå ñëó÷àéíîå ïîëå ñ çàäàííûìè âåðîÿòíîñòíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè; ëèíåéíûé äåòåðìèíèñòè÷åñêèé îïåðàòîð. Ðàññìîòðèì òàêæå â òåðìèíàõ òåîðèè êîëåáàíèé ëèíåéíûõ ñèñòåì ñèñòåìû áîëåå ÷àñòíîãî âèäà

Çäåñü ñîîòâåòñòâåííî èíåðöèîííûé, äèññèïàòèâíûé è êâàçèóïðóãèé îïåðàòîðû, ñâîéñòâà êîòîðûõ è êîíêðåòíûå ðåàëèçàöèè áûëè ïîäðîáíî ðàññìîòðåíû â ãë. è äàëåå»

Ïðèìåð. Ïóñòü óïðóãèé ñòåðæåíü ïîñòîÿííîãî ñå÷åíèÿ ñîâåðøàåò ñëó÷àéíûå èçãèáíûå êîëåáàíèÿ ïîä äåéñòâèåì ñëó÷àéíîé ïîïåðå÷íîé íàãðóçêè Çàïèøåì óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè ïðîãèáà â âèäå

Êîíöû ñòåðæíÿ áóäåì ñ÷èòàòü îïåðòûìè. Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíûå êîëåáàíèÿ, êîòîðûå íà÷èíàþòñÿ èç ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ, à òàêæå óñòàíîâèâøèåñÿ êîëåáàíèÿ ïîä äåéñòâèåì ñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé íàãðóçêè, êîãäà íà ðåøåíèå íàêëàäûâàåòñÿ òðåáîâàíèå ñòàöèîíàðíîñòè âî âðåìåíè. Ïðèìåì, ÷òî íàãðóçêà äåëüòà-êîððåëèðîâàíà êàê ïî êîîðäèíàòå, òàê è ïî âðåìåíè, ïðè÷åì

ãäå èíòåíñèâíîñòü

Ìåòîä äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî ìîìåíòíûõ ôóíêöèé. Ìåòîä îòëè÷àåòñÿ îò îïèñàííîãî ðàíåå (ñì. ãë. XVIII) òåì, ÷òî îïåðàòîð äåéñòâóåò íà ôóíêöèè êîîðäèíàò õ è âðåìåíè Íàïðèìåð, óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî ìîìåíòíûõ ôóíêöèé âòîðîãî ïîðÿäêà ïðèíèìàþò âèä

ãäå âûðàæåíèÿ è ïîíèìàþòñÿ â ñìûñëå ïðÿìîãî (òåíçîðíîãî) ïðîèçâåäåíèÿ. Óðàâíåíèå (5) âêëþ÷àåò â ñåáÿ òàêæå îñðåäíåííûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ.

Äëÿ ðàññìîòðåííîãî âûøå ïðèìåðà óðàâíåíèå, ñâÿçûâàþùåå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè íàãðóçêè è ïðîãèáà ò. å. ôóíêöèè

áóäåò ñëåäóþùèì

Äëÿ êîëåáàíèé, íà÷èíàþùèõñÿ èç ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ, ãðàíè÷íûå è íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ââîäÿòñÿ òàê:

Ñòàöèîíàðíûå ñëó÷àéíûå êîëåáàíèÿ. Åñëè è — ñòàöèîíàðíûå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû, òî êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè çàâèñÿò îò ðàçíîñòè (à íå îò êàæäîãî àðãóìåíòà ïîðîçíü) Ââîäÿ íîâóþ ïåðåìåííóþ âìåñòî óðàâíåíèÿ (7) ïîëó÷èì

Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ îñòàþòñÿ áåç èçìåíåíèÿ, à âìåñòî ïðåæíèõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé íóæèî âçÿòü ñëåäóþùèå:

Åôòè âõîäÿùèå â (10) ïðîèçâîäíûå íå ñóùåñòâóþò, òî ñëåäóåò âçÿòü ñîîòâåòñòâóþùèå óñëîâèÿ ñêà÷êà ïðè Óðàâíåíèå (9) ñ óñëîâèÿìè (10) ëåãêî ðåøàåòñÿ ïî ìåòîäó ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ. Åñëè íàãðóçêà çàäàíà ñîîòíîøåíèÿìè (4), òî ïîëó÷àåì

ãäå ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû ñòåðæèÿ, âû÷èñëåííûå ñ ïîïðàâêîé íà äèññè ïàöèþ.

Ìåòîä ôóíêöèé Ãðèíà. Ìåòîä ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì ìåòîäà èìïóëüñíûõ ïåðåõîäíûõ ôóíêöèé (ñì. ãë. XVIII). Çà èñõîäíîå â ýòîì ìåòîäå ïðèíÿòî óðàâíåíèå (1), ðàçðåøåííîå îòíîñèòåëüíî

Äëÿ ðàñêðûòèÿ êîíêðåòíîãî ñîäåðæàíèÿ îïåðàòîðà íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü ôóíêöèþ Ãðèíà (òåíçîð Ãðèíà) äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé êðàåâîé çàäà÷è. Åñëè è è ñêàëÿðíûå ïîëÿ, òî ôóíêöèþ Ãðèíà îïðåäåëÿþò êàê ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

óäîâëåòâîðÿþùåå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì äëÿ è è íóëåâûì íà÷àëüíûì óñëîâèÿì ïðè Ïî ïåðåìåííûì õ è ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé Ãðèíà â îáû÷íîì ñìûñëå, ïî ïåðåìåííûì èìïóëüñíîé ïåðåõîäíîé ôóíêöèåé. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (12) çàïèøåì â âèäå

Ðåàëèçàöèþ îïåðàòîðíîãî ñîîòíîøåíèÿ (13) â ñëó÷àå, êîãäà è âåêòîðíûå ïîëÿ, çàïèñûâàþò ïðè ïîìîùè òåíçîðà Ãðèíà ñ. êîìïîíåíòàìè

Âûðàæåíèÿ òèïà (14) è (15) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

ãäå ïåðâàÿ ïàðà àðãóìåíòîâ ó ôóíêöèè (òåíçîðà) Ãðèíà âûïèñàíà íàä çíàêîì îïåðàòîðà, âòîðàÿ — ïîä ýòèì çíàêîì. Îñðåäíÿÿ ñîîòíîøåíèå (16), à òàêæå ñîîòíîøåíèÿ, ïîëó÷àåìûå ïî÷ëåííûì ïåðåìíîæåíèåì ïðè ðàçëè÷íûõ ïîëó÷èì ôîðìóëû äëÿ ìîìåíòíûõ ôóíêöèé âèáðàöèîííîãî ïîëÿ. Òàê, äëÿ ìîìåíòíûõ ôóíêöèé âòîðîãî ïîðÿäêà

Äëÿ ðàññìîòðåííîãî âûøå ïðèìåðà ôóíêöèÿ Ãðèíà èìååò âèä

Ïîäñòàíîâêà ôîðìóë (4) è (18) â ñîîòíîøåíèå òèïà (17) äëÿ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ïðèâîäèò ê ôîðìóëå (11)

<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Îãëàâëåíèå