3. ÌÅÒÎÄ ÐÀÇËÎÆÅÍÈß ÏÎ ÑÎÁÑÒÂÅÍÍÛÌ ÔÎÐÌÀÌ
Ïðèìåíåíèå ìåòîäà îáîáùåííûõ êîîðäèíàò. Ïðè ðåøåíèè ñòîõàñòè÷åñêèõ êðàåâûõ çàäà÷ â òåîðèè êîëåáàíèé ÷àñòî ïðèìåíÿþò ìåòîä, îñíîâàííûé íà ïðåäñòàâëåíèè âèáðàöèîííûõ ïîëåé è âíåøíåé íàãðóçêè â âèäå ðàçëîæåíèÿ â ðÿä ïî ñîáñòâåííûì ôîðìàì êîëåáàíèé
ñèñòåìû áåç ó÷åòà äèññèïàöèè:
Ïðèìåíåíèå ðàçëîæåíèé òèïà (40) ïî ñóùåñòâó ýêâèâàëåíòíî çàìåíå ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû ñèñòåìîé ñî ñ÷åòíûì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ïðè ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòàõ ðÿä (40) óñåêàþò, ò. å. ðàñïðåäåëåííóþ ñèñòåìó çàìåíÿþò äèñêðåòíîé ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû. Êîëè÷åñòâî ó÷èòûâàåìûõ ÷ëåíîâ ðÿäà îïðåäåëÿåòñÿ òðåáóåìîé òî÷íîñòüþ âû÷èñëåíèé, ÷àñòîòíûì äèàïàçîíîì âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ è ò. ä. Ñëó÷àéíûå ôóíêöèè âðåìåíè
ïðè ýòîì ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê îáîáùåííûå êîîðäèíàòû äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé ñèñòåìû ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ïîýòîìó ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷ ñëó÷àéíûõ êîëåáàíèé ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì, îñíîâàííûé íà èñïîëüçîâàíèè âûðàæåíèé, àíàëîãè÷íûõ (40), íàçûâàþò ìåòîäîì îáîáùåííûõ êîîðäèíàò.
Ïóòåì ïîäñòàíîâêè ðÿäà (40) â óðàâíåíèÿ (1) ñ èñïîëüçîâàíèåì, íàïðèìåð, âàðèàöèîííîãî ìåòîäà Áóáíîâà — Ãàëåðêèíà ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî îáîáùåííûõ êîîðäèíàò. Êàê ïðàâèëî, ïðè îïðåäåëåííûõ îãðàíè÷åíèÿõ, íàêëàäûâàåìûõ íà ñâîéñòâà îïåðàòîðîâ
ýòè óðàâíåíèÿ èìåþò ñòàíäàðòíûé âèä
Çäåñü
ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû áåç ó÷åòà äèññèïàöèè,
êîýôôèöèåíòû äèññèïàöèè;
ñëó÷àéíûå ôóíêöèè âðåìåíè, èìåþùèå
ñìûñë îáîáùåííûõ ñèë:
ãäå
— íîðìû ñîáñòâåííûõ ôîðì; ñêîáêè îçíà÷àþò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â ôóíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâå âåêòîð-ôóíêöèé:
Ðàçäåëåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ïðîèñõîäèò âñëåäñòâèå îðòîãîíàëüíîñòè ôîðì ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ñèñòåìû, âû÷èñëåííûõ áåç ó÷åòà äèññèïàöèè.
Âñëåäñòâèå ðàçäåëåíèÿ ñèñòåìû (41) îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì èññëåäîâàíèå ïîâåäåíèÿ êàæäîé èç îáîáùåííûõ êîîðäèíàò
ìåòîäàìè, èçëîæåííûìè â ãë. XVIII. Îäíàêî äëÿ èñ÷åðïûâàþùåãî îïèñàíèÿ ïîâåäåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü âçàèìíóþ êîððåëÿöèþ îáîáùåííûõ êîîðäèíàò [12].
Ðàññìîòðèì ñêàëÿðíîå ïîëå è
Ìîìåíòíûå ôóíêöèè äëÿ ïîëÿ è
íàõîäÿòñÿ îñðåäíåíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ ðÿäîâ:
Ìîìåíòíûå ôóíêöèè îáîáùåííûõ êîîðäèíàò íàõîäÿòñÿ èç óðàâíåíèé (41) ïðè ïîìîùè ìåòîäîâ, èçëîæåííûõ â ãë. XVIII. Ýòè ôóíêöèè âûðàæàþò ÷åðåç ìîìåíòíûå ôóíêöèè îáîáùåííûõ ñèë
êîòîðûå ìîæíî âû÷èñëèòü, åñëè èçâåñòíû ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ íàãðóçêè è ôîðìû ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ñèñòåìû.
 ñëó÷àå íåóñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé ìîìåíòíûå ôóíêöèè ïîëÿ è
è ò. ä. Çäåñü
èìïóëüñíàÿ ïåðåõîäíàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ñèñòåìû (41). Ïðèìåð. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3) áóäåì èñêàòü â âèäå ðÿäà
Ðàçëàãàÿ íàãðóçêó
â ðÿä
è ïîäñòàâëÿÿ ðÿäû (45) è (46) â óðàâíåíèå (3), ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé òèïà
Ñ ó÷åòîì (42) ìîìåèòèûå ôóíêöèè îáîáùåííûõ ñèë îïðåäåëÿþò ïî ôîðìóëå
Åñëè îãðàíè÷èòüñÿ ñëó÷àåì, êîãäà ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèä (4), òî
 ñëó÷àå óñòàíîâèâøèõñÿ ñòàöèîíàðíûõ êîëåáàíèè âçàèìíûå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè îáîáùåííûõ êîîðäèíàò
Ïðè ýòîì êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ïðîãèáà
èìååò âèä (11).
Âû÷èñëåíèå ñïåêòðàëüíûõ ïëîòíîñòåé îáîáùåííûõ ñèë. Îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì óñòàíîâèâøèõñÿ ñòàöèîíàðíûõ êîëåáàíèé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
ÿâëÿþòñÿ ñòàöèîíàðíûìè ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûìè ñêàëÿðíûìè ïîëÿìè. Òîãäà èç (43) ïîëó÷àåì
Çäåñü
ýëåìåíòû ìàòðèöû âçàèìíûõ ñïåêòðàëüíûõ ïëîòíîñòåé îáîáùåííûõ êîîðäèíàò. Îíè ìîãóò áûòü íàéäåíû ñ èñïîëüçîâàíèåì óðàâíåíèé (41). Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
Çäåñü
— ýëåìåíòû ìàòðèöû âçàèìíûõ ñïåêòðàëüíûõ ïëîòíîñòåé îáîáùåííûõ ñèë, êîòîðûå ìîãóò áûòü íàéäåíû ïî ôîðìóëàì
Ñëó÷àéíûå êîëåáàíèÿ ïëàñòèíû ñ ñîñðåäîòî÷åííîé ìàññîé. Äëÿ ïðÿìîóãîëüíîé ïëàñòèíû êîíå÷íûõ ðàçìåðîâ, êîëåáàíèÿ êîòîðîé îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèåì (39), âíåøíþþ íàãðóçêó
è íîðìàëüíûé ïðîãèá
ïðåäñòàâèì â âèäå ðàçëîæåíèÿ (40) ïî ñîáñòâåííûì ôîðìàì
è ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïî âðåìåíè. Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü ïðîãèáà ïëàñòèíû
Âçàèìíûå ïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè îáîáùåííûõ ñèë
îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü
ïî ôîðìóëå (54) Ôóíêöèè
ãäå
êâàäðàòû íîðì áàçèñíûõ ôóíêöèé