3. МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФОРМАМ

Применение метода обобщенных координат. При решении стохастических краевых задач в теории колебаний часто применяют метод, основанный на представлении вибрационных полей и внешней нагрузки в виде разложения в ряд по собственным формам колебаний системы без учета диссипации:

Применение разложений типа (40) по существу эквивалентно замене рассматриваемой системы системой со счетным числом степеней свободы. При практических расчетах ряд (40) усекают, т. е. распределенную систему заменяют дискретной с конечным числом степеней свободы. Количество учитываемых членов ряда определяется требуемой точностью вычислений, частотным диапазоном внешнего воздействия и т. д. Случайные функции времени при этом можно интерпретировать как обобщенные координаты для соответствующей системы с конечным числом степеней свободы. Поэтому метод решения задач случайных колебаний распределенных систем, основанный на использовании выражений, аналогичных (40), называют методом обобщенных координат.

Путем подстановки ряда (40) в уравнения (1) с использованием, например, вариационного метода Бубнова — Галеркина можно получить уравнения относительно обобщенных координат. Как правило, при определенных ограничениях, накладываемых на свойства операторов эти уравнения имеют стандартный вид

Здесь собственные частоты рассматриваемой системы без учета диссипации, коэффициенты диссипации; случайные функции времени, имеющие

смысл обобщенных сил:

где — нормы собственных форм; скобки означают скалярное произведение в функциональном пространстве вектор-функций:

Разделение системы уравнений относительно обобщенных координат происходит вследствие ортогональности форм собственных колебаний системы, вычисленных без учета диссипации.

Вследствие разделения системы (41) оказывается возможным исследование поведения каждой из обобщенных координат методами, изложенными в гл. XVIII. Однако для исчерпывающего описания поведения рассматриваемой системы необходимо учитывать взаимную корреляцию обобщенных координат [12].

Рассмотрим скалярное поле и Моментные функции для поля и находятся осреднением соответствующих рядов:

Моментные функции обобщенных координат находятся из уравнений (41) при помощи методов, изложенных в гл. XVIII. Эти функции выражают через моментные функции обобщенных сил которые можно вычислить, если известны пространственно-временная корреляционная функция нагрузки и формы собственных колебаний системы.

В случае неустановившихся колебаний моментные функции поля и

и т. д. Здесь импульсная переходная функция для системы (41). Пример. Решение уравнения (3) будем искать в виде ряда

Разлагая нагрузку в ряд

и подставляя ряды (45) и (46) в уравнение (3), получим систему уравнений типа

С учетом (42) момеитиые функции обобщенных сил определяют по формуле

Если ограничиться случаем, когда пространственно-временная корреляционная функция имеет вид (4), то

В случае установившихся стационарных колебании взаимные корреляционные функции обобщенных координат

При этом корреляционная функция прогиба имеет вид (11).

Вычисление спектральных плотностей обобщенных сил. Ограничимся рассмотрением установившихся стационарных колебаний. Предположим, что являются стационарными пространственно-временными скалярными полями. Тогда из (43) получаем

Здесь элементы матрицы взаимных спектральных плотностей обобщенных координат. Они могут быть найдены с использованием уравнений (41). Окончательно получаем

Здесь

— элементы матрицы взаимных спектральных плотностей обобщенных сил, которые могут быть найдены по формулам

Случайные колебания пластины с сосредоточенной массой. Для прямоугольной пластины конечных размеров, колебания которой описываются уравнением (39), внешнюю нагрузку и нормальный прогиб представим в виде разложения (40) по собственным формам и преобразования Фурье по времени. Спектральная плотность прогиба пластины

Взаимные пектральные плотности обобщенных сил определяются через спектральную плотность по формуле (54) Функции

где квадраты норм базисных функций