Ãëàâíàÿ > Ôèçèêà > Âèáðàöèè â òåõíèêå, Ò. 1. Êîëåáàíèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô
Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Ìàêåòû ñòðàíèö

3. ÌÅÒÎÄ ÐÀÇËÎÆÅÍÈß ÏÎ ÑÎÁÑÒÂÅÍÍÛÌ ÔÎÐÌÀÌ

Ïðèìåíåíèå ìåòîäà îáîáùåííûõ êîîðäèíàò. Ïðè ðåøåíèè ñòîõàñòè÷åñêèõ êðàåâûõ çàäà÷ â òåîðèè êîëåáàíèé ÷àñòî ïðèìåíÿþò ìåòîä, îñíîâàííûé íà ïðåäñòàâëåíèè âèáðàöèîííûõ ïîëåé è âíåøíåé íàãðóçêè â âèäå ðàçëîæåíèÿ â ðÿä ïî ñîáñòâåííûì ôîðìàì êîëåáàíèé ñèñòåìû áåç ó÷åòà äèññèïàöèè:

Ïðèìåíåíèå ðàçëîæåíèé òèïà (40) ïî ñóùåñòâó ýêâèâàëåíòíî çàìåíå ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû ñèñòåìîé ñî ñ÷åòíûì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ïðè ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòàõ ðÿä (40) óñåêàþò, ò. å. ðàñïðåäåëåííóþ ñèñòåìó çàìåíÿþò äèñêðåòíîé ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû. Êîëè÷åñòâî ó÷èòûâàåìûõ ÷ëåíîâ ðÿäà îïðåäåëÿåòñÿ òðåáóåìîé òî÷íîñòüþ âû÷èñëåíèé, ÷àñòîòíûì äèàïàçîíîì âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ è ò. ä. Ñëó÷àéíûå ôóíêöèè âðåìåíè ïðè ýòîì ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê îáîáùåííûå êîîðäèíàòû äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé ñèñòåìû ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ïîýòîìó ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷ ñëó÷àéíûõ êîëåáàíèé ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì, îñíîâàííûé íà èñïîëüçîâàíèè âûðàæåíèé, àíàëîãè÷íûõ (40), íàçûâàþò ìåòîäîì îáîáùåííûõ êîîðäèíàò.

Ïóòåì ïîäñòàíîâêè ðÿäà (40) â óðàâíåíèÿ (1) ñ èñïîëüçîâàíèåì, íàïðèìåð, âàðèàöèîííîãî ìåòîäà Áóáíîâà — Ãàëåðêèíà ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî îáîáùåííûõ êîîðäèíàò. Êàê ïðàâèëî, ïðè îïðåäåëåííûõ îãðàíè÷åíèÿõ, íàêëàäûâàåìûõ íà ñâîéñòâà îïåðàòîðîâ ýòè óðàâíåíèÿ èìåþò ñòàíäàðòíûé âèä

Çäåñü ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû áåç ó÷åòà äèññèïàöèè, êîýôôèöèåíòû äèññèïàöèè; ñëó÷àéíûå ôóíêöèè âðåìåíè, èìåþùèå

ñìûñë îáîáùåííûõ ñèë:

ãäå — íîðìû ñîáñòâåííûõ ôîðì; ñêîáêè îçíà÷àþò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â ôóíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâå âåêòîð-ôóíêöèé:

Ðàçäåëåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ïðîèñõîäèò âñëåäñòâèå îðòîãîíàëüíîñòè ôîðì ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ñèñòåìû, âû÷èñëåííûõ áåç ó÷åòà äèññèïàöèè.

Âñëåäñòâèå ðàçäåëåíèÿ ñèñòåìû (41) îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì èññëåäîâàíèå ïîâåäåíèÿ êàæäîé èç îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ìåòîäàìè, èçëîæåííûìè â ãë. XVIII. Îäíàêî äëÿ èñ÷åðïûâàþùåãî îïèñàíèÿ ïîâåäåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü âçàèìíóþ êîððåëÿöèþ îáîáùåííûõ êîîðäèíàò [12].

Ðàññìîòðèì ñêàëÿðíîå ïîëå è Ìîìåíòíûå ôóíêöèè äëÿ ïîëÿ è íàõîäÿòñÿ îñðåäíåíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ ðÿäîâ:

Ìîìåíòíûå ôóíêöèè îáîáùåííûõ êîîðäèíàò íàõîäÿòñÿ èç óðàâíåíèé (41) ïðè ïîìîùè ìåòîäîâ, èçëîæåííûõ â ãë. XVIII. Ýòè ôóíêöèè âûðàæàþò ÷åðåç ìîìåíòíûå ôóíêöèè îáîáùåííûõ ñèë êîòîðûå ìîæíî âû÷èñëèòü, åñëè èçâåñòíû ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ íàãðóçêè è ôîðìû ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ñèñòåìû.

 ñëó÷àå íåóñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé ìîìåíòíûå ôóíêöèè ïîëÿ è

è ò. ä. Çäåñü èìïóëüñíàÿ ïåðåõîäíàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ñèñòåìû (41). Ïðèìåð. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3) áóäåì èñêàòü â âèäå ðÿäà

Ðàçëàãàÿ íàãðóçêó â ðÿä

è ïîäñòàâëÿÿ ðÿäû (45) è (46) â óðàâíåíèå (3), ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé òèïà

Ñ ó÷åòîì (42) ìîìåèòèûå ôóíêöèè îáîáùåííûõ ñèë îïðåäåëÿþò ïî ôîðìóëå

Åñëè îãðàíè÷èòüñÿ ñëó÷àåì, êîãäà ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèä (4), òî

 ñëó÷àå óñòàíîâèâøèõñÿ ñòàöèîíàðíûõ êîëåáàíèè âçàèìíûå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè îáîáùåííûõ êîîðäèíàò

Ïðè ýòîì êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ïðîãèáà èìååò âèä (11).

Âû÷èñëåíèå ñïåêòðàëüíûõ ïëîòíîñòåé îáîáùåííûõ ñèë. Îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì óñòàíîâèâøèõñÿ ñòàöèîíàðíûõ êîëåáàíèé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÿâëÿþòñÿ ñòàöèîíàðíûìè ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûìè ñêàëÿðíûìè ïîëÿìè. Òîãäà èç (43) ïîëó÷àåì

Çäåñü ýëåìåíòû ìàòðèöû âçàèìíûõ ñïåêòðàëüíûõ ïëîòíîñòåé îáîáùåííûõ êîîðäèíàò. Îíè ìîãóò áûòü íàéäåíû ñ èñïîëüçîâàíèåì óðàâíåíèé (41). Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì

Çäåñü

— ýëåìåíòû ìàòðèöû âçàèìíûõ ñïåêòðàëüíûõ ïëîòíîñòåé îáîáùåííûõ ñèë, êîòîðûå ìîãóò áûòü íàéäåíû ïî ôîðìóëàì

Ñëó÷àéíûå êîëåáàíèÿ ïëàñòèíû ñ ñîñðåäîòî÷åííîé ìàññîé. Äëÿ ïðÿìîóãîëüíîé ïëàñòèíû êîíå÷íûõ ðàçìåðîâ, êîëåáàíèÿ êîòîðîé îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèåì (39), âíåøíþþ íàãðóçêó è íîðìàëüíûé ïðîãèá ïðåäñòàâèì â âèäå ðàçëîæåíèÿ (40) ïî ñîáñòâåííûì ôîðìàì è ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïî âðåìåíè. Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü ïðîãèáà ïëàñòèíû

Âçàèìíûå ïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè îáîáùåííûõ ñèë îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü ïî ôîðìóëå (54) Ôóíêöèè

ãäå êâàäðàòû íîðì áàçèñíûõ ôóíêöèé

<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Îãëàâëåíèå