3. ÍÅÄÈÑÑÈÏÀÒÈÂÍÛÅ ÑÈÑÒÅÌÛ Ñ ÊÎÍÅ×ÍÛÌ ×ÈÑËÎÌ ÑÒÅÏÅÍÅÉ ÑÂÎÁÎÄÛ
Óðàâíåíèå âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé èìååò âèä
ãäå
âåêòîð îáîáùåííûõ êîîðäèíàò;
ìàòðèöû èíåðöèîííûõ è êâàçè-óïðóãèõ êîýôôèöèåíòîâ;
âåêòîð àìïëèòóä âíåøíèõ âûíóæäàþùèõ ñèë.
Íåïîñðåäñòâåííîå ðåøåíèå. Îíî îñíîâàíî íà ïðåäñòàâëåíèè âåêòîðà îáîáùåííûõ êîîðäèíàò â âèäå
Ïîñëå âûäåëåíèÿ âðåìåííîãî ìíîæèòåëÿ çàäà÷à îá óñòàíîâèâøèõñÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèÿõ ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé:
Ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû ñóùåñòâóåò, åñëè
Òîãäà
Îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû (11) ðàâåí íóëþ ïðè ñîâïàäåíèè ÷àñòîòû âíåøíåãî âîçáóæäåíèÿ ñ îäíîé èç ñîáñòðåíöûõ ÷àñòîò ðàññìàòðèâàåìîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ñî
Ïðè
àìïëèòóäíûå êîýôôèöèåíòû îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ñòàíîâÿòñÿ íåîïðåäåëåííûìè.  ýòèõ ñëó÷àÿõ ãîâîðÿò î ðåçîíàíñàõ íà îïðåäåëåííûõ ÷àñòîòàõ. Íàïðèìåð, «ðåçîíàíñ íà ïåðâîé ñîáñòâåííîé ÷àñòîòå» è ò. ä. Óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ ðåçîíàíñà ÿâëÿåòñÿ ñîâïàäåíèå ÷àñòîòû âíåøíåãî âîçáóæäåíèÿ ñ îäíîé èç ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò
Îäíàêî âîçìîæåí ñëó÷àé, êîãäà ïðè ñîâïàäåíèè ÷àñòîò
ðåçîíàíñà íå áóäåò; îí ðåàëèçóåòñÿ ïðè âûïîëíåíèè äîïîëíèòåëüíîãî óñëîâèÿ
îçíà÷àþùåãî, ÷òî âíåøíèå ñèëû íå ñîâåðøàþò ðàáîòû íà ïåðåìåùåíèÿõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ
ôîðìå ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé.
Ðèñ. 7. Ïðèìåð îòñóòñòâèÿ ðåçîíàíñà íà ïåðâîé ÷àñòîòå ñèñòåìû
Ðèñ. 8. Äâóõìàññîâàÿ ñèñòåìà
Ðèñ. 9. Àìïëèòóäíî-÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà Äëÿ ìàññû
äâóõìàññîâîé ñèñòåìû
Ïðè ýòîì ñóùåñòâóåò ðåøåíèå ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (11) ñ îïðåäåëèòåëåì, ðàâíûì íóëþ, êîãäà ðàíãè ìàòðèöû ñèñòåìû è ðàñøèðåííîé ìàòðèöû ðàâíû (ðèñ. 7).
Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé äâóõìàññîâîé ñèñòåìû (ðèñ. 8):
×àñòíîå ðåøåíèå ñèñòåìû (13), îïèñûâàþùåå ñòàöèîíàðíóþ ÷àñòü ïðîöåññà, èìååò âèä
Àìïëèòóäû êîëåáàíèé ìàññ
ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû
Èç âûðàæåíèé (14) âèäíî, ÷òî ìàññà
îñòàåòñÿ íåïîäâèæíîé, åñëè
 ýòîì ñëó÷àå
(ðèñ. 9).
Ðèñ. 10. Ñèñòåìà ñ ÷åòûðüìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû
Ðåæèì âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ñèñòåìû ïðè
,ñîîòâåòñòâóåò àíòèðåçîíàíñó íà ïåðâîé îáîáùåííîé êîîðäèíàòå
Âîçìîæíîñòü âîçíèêíîâåíèÿ àèòèðåçîèàíñà èñïîëüçóþò ïðè óñòðîéñòâå äèíàìè÷åñêîãî ãàñèòåëÿ êîëåáàíèé.
Ïðèìåð. Ñèñòåìà ñ ÷åòûðüìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, ñîâåðøàþùàÿ óñòàíîâèâøèåñÿ âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ, ïîêàçàíà íà ðèñ. 10. Ïåðèîäè÷åñêàÿ âíåøíÿÿ ñèëà ïðèëîæåíà ê ìàññå
Àìïëèòóäû óñòàíîâèâøèõñÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé
ìàññ
è
ïîäñòàâëåíû íà ðèñ. 11 êàê ôóíêöèè îò âîçáóæäàþùåé ÷àñòîòû
Ðåçîíàíñû óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé âîçíèêàþò ïðè ÷àñòîòå
ñîâïàäàþùåé ñ îäíîì èç ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò
è
Ðèñ. 11. Àìïëèòóäû óñòàíîâèâøèõñÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé êàê ôóíêöèè îò âîçáóæäàþùåé ÷àñòîòû
Ìàññà
èìååò òðè ÷àñòîòû àíòèðåçîíàíñà, íàõîäÿùèåñÿ â èíòåðâàëàõ ìåæäó ñîñåäíèìè ñîáñòâåííûìè ÷àñòîòàìè. Ìàññà
îáëàäàåò äâóìÿ àíòèðåçîíàíñàìè, ìàññà
îäíèì àíòèðåçîíàíñîì. Äëÿ ìàññû
àèòèðåçîíàíñíîå ñîñòîÿíèå íåâîçìîæíî.
Èñïîëüçîâàíèå ãëàâíûõ íîðìàëüíûõ êîîðäèíàò. Îñíîâíîé èäååé ââåäåíèÿ ãëàâíûõ íîðìàëüíûõ êîîðäèíàò ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå äâèæåíèÿ â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî ôîðìàì ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé. Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ââåäåíèå ãëàâíûõ íîðìàëüíûõ êîîðäèíàò çàêëþ÷àåòñÿ â ïðåîáðàçîâàíèè ïåðåìåííûõ, ïðèâîäÿùåì îäíîâðåìåííî ê ãëàâíûì îñÿì ìàòðèöû èíåðöèîííûõ è êâàçèóïðóãèõ êîýôôèöèåíòîâ. Ñëåäñòâèåì ýòîãî ÿâëÿåòñÿ ðàñ÷ëåíåíèå èñõîäíîé ñèñòåìû íà îòäåëüíûå, íåçàâèñèìûå óðàâíåíèÿ.
Ââåäåì ïðåîáðàçîâàíèå
ãäå V — ìàòðèöà, ñîñòàâëåííàÿ ïî ñòîëáöàì èç ôîðì ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé. Ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé
è ïðåîáðàçîâàíèÿ âåêòîðà ñòàòè÷åñêîãî ïåðåìåùåíèÿ ê ãëàâíûì îñÿì
èñõîäíàÿ ñèñòåìà ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
Êàæäîå óðàâíåíèå (17) îïèñûâàåò ïîâåäåíèå ñèñòåìû ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû. Ðåøåíèå êàæäîãî óðàâíåíèÿ (17) èìååò âèä
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ â èñõîäíûõ îáîáùåííûõ êîîðäèíàòàõ íåîáõîäèìî ó÷åñòü ïðåîáðàçîâàíèå (15)
Ïðè ýòîì
äîëæíî áûòü âûðàæåíî ÷åðåç ñòàòè÷åñêèå ïåðåìåùåíèÿ.