Ãëàâíàÿ > Ôèçèêà > Âèáðàöèè â òåõíèêå, Ò. 1. Êîëåáàíèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô
Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Ìàêåòû ñòðàíèö

3. ÍÅÄÈÑÑÈÏÀÒÈÂÍÛÅ ÑÈÑÒÅÌÛ Ñ ÊÎÍÅ×ÍÛÌ ×ÈÑËÎÌ ÑÒÅÏÅÍÅÉ ÑÂÎÁÎÄÛ

Óðàâíåíèå âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé èìååò âèä

ãäå âåêòîð îáîáùåííûõ êîîðäèíàò; ìàòðèöû èíåðöèîííûõ è êâàçè-óïðóãèõ êîýôôèöèåíòîâ; âåêòîð àìïëèòóä âíåøíèõ âûíóæäàþùèõ ñèë.

Íåïîñðåäñòâåííîå ðåøåíèå. Îíî îñíîâàíî íà ïðåäñòàâëåíèè âåêòîðà îáîáùåííûõ êîîðäèíàò â âèäå Ïîñëå âûäåëåíèÿ âðåìåííîãî ìíîæèòåëÿ çàäà÷à îá óñòàíîâèâøèõñÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèÿõ ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé:

Ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû ñóùåñòâóåò, åñëè Òîãäà

Îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû (11) ðàâåí íóëþ ïðè ñîâïàäåíèè ÷àñòîòû âíåøíåãî âîçáóæäåíèÿ ñ îäíîé èç ñîáñòðåíöûõ ÷àñòîò ðàññìàòðèâàåìîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ñî

Ïðè àìïëèòóäíûå êîýôôèöèåíòû îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ñòàíîâÿòñÿ íåîïðåäåëåííûìè.  ýòèõ ñëó÷àÿõ ãîâîðÿò î ðåçîíàíñàõ íà îïðåäåëåííûõ ÷àñòîòàõ. Íàïðèìåð, «ðåçîíàíñ íà ïåðâîé ñîáñòâåííîé ÷àñòîòå» è ò. ä. Óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ ðåçîíàíñà ÿâëÿåòñÿ ñîâïàäåíèå ÷àñòîòû âíåøíåãî âîçáóæäåíèÿ ñ îäíîé èç ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò Îäíàêî âîçìîæåí ñëó÷àé, êîãäà ïðè ñîâïàäåíèè ÷àñòîò ðåçîíàíñà íå áóäåò; îí ðåàëèçóåòñÿ ïðè âûïîëíåíèè äîïîëíèòåëüíîãî óñëîâèÿ îçíà÷àþùåãî, ÷òî âíåøíèå ñèëû íå ñîâåðøàþò ðàáîòû íà ïåðåìåùåíèÿõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ôîðìå ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé.

Ðèñ. 7. Ïðèìåð îòñóòñòâèÿ ðåçîíàíñà íà ïåðâîé ÷àñòîòå ñèñòåìû

Ðèñ. 8. Äâóõìàññîâàÿ ñèñòåìà

Ðèñ. 9. Àìïëèòóäíî-÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà Äëÿ ìàññû äâóõìàññîâîé ñèñòåìû

Ïðè ýòîì ñóùåñòâóåò ðåøåíèå ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (11) ñ îïðåäåëèòåëåì, ðàâíûì íóëþ, êîãäà ðàíãè ìàòðèöû ñèñòåìû è ðàñøèðåííîé ìàòðèöû ðàâíû (ðèñ. 7).

Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé äâóõìàññîâîé ñèñòåìû (ðèñ. 8):

×àñòíîå ðåøåíèå ñèñòåìû (13), îïèñûâàþùåå ñòàöèîíàðíóþ ÷àñòü ïðîöåññà, èìååò âèä Àìïëèòóäû êîëåáàíèé ìàññ ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû

Èç âûðàæåíèé (14) âèäíî, ÷òî ìàññà îñòàåòñÿ íåïîäâèæíîé, åñëè  ýòîì ñëó÷àå (ðèñ. 9).

Ðèñ. 10. Ñèñòåìà ñ ÷åòûðüìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû

Ðåæèì âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ñèñòåìû ïðè ,ñîîòâåòñòâóåò àíòèðåçîíàíñó íà ïåðâîé îáîáùåííîé êîîðäèíàòå Âîçìîæíîñòü âîçíèêíîâåíèÿ àèòèðåçîèàíñà èñïîëüçóþò ïðè óñòðîéñòâå äèíàìè÷åñêîãî ãàñèòåëÿ êîëåáàíèé.

Ïðèìåð. Ñèñòåìà ñ ÷åòûðüìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, ñîâåðøàþùàÿ óñòàíîâèâøèåñÿ âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ, ïîêàçàíà íà ðèñ. 10. Ïåðèîäè÷åñêàÿ âíåøíÿÿ ñèëà ïðèëîæåíà ê ìàññå

Àìïëèòóäû óñòàíîâèâøèõñÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ìàññ è ïîäñòàâëåíû íà ðèñ. 11 êàê ôóíêöèè îò âîçáóæäàþùåé ÷àñòîòû Ðåçîíàíñû óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé âîçíèêàþò ïðè ÷àñòîòå ñîâïàäàþùåé ñ îäíîì èç ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò è

Ðèñ. 11. Àìïëèòóäû óñòàíîâèâøèõñÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé êàê ôóíêöèè îò âîçáóæäàþùåé ÷àñòîòû

Ìàññà èìååò òðè ÷àñòîòû àíòèðåçîíàíñà, íàõîäÿùèåñÿ â èíòåðâàëàõ ìåæäó ñîñåäíèìè ñîáñòâåííûìè ÷àñòîòàìè. Ìàññà îáëàäàåò äâóìÿ àíòèðåçîíàíñàìè, ìàññà îäíèì àíòèðåçîíàíñîì. Äëÿ ìàññû àèòèðåçîíàíñíîå ñîñòîÿíèå íåâîçìîæíî.

Èñïîëüçîâàíèå ãëàâíûõ íîðìàëüíûõ êîîðäèíàò. Îñíîâíîé èäååé ââåäåíèÿ ãëàâíûõ íîðìàëüíûõ êîîðäèíàò ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå äâèæåíèÿ â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî ôîðìàì ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé. Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ââåäåíèå ãëàâíûõ íîðìàëüíûõ êîîðäèíàò çàêëþ÷àåòñÿ â ïðåîáðàçîâàíèè ïåðåìåííûõ, ïðèâîäÿùåì îäíîâðåìåííî ê ãëàâíûì îñÿì ìàòðèöû èíåðöèîííûõ è êâàçèóïðóãèõ êîýôôèöèåíòîâ. Ñëåäñòâèåì ýòîãî ÿâëÿåòñÿ ðàñ÷ëåíåíèå èñõîäíîé ñèñòåìû íà îòäåëüíûå, íåçàâèñèìûå óðàâíåíèÿ.

Ââåäåì ïðåîáðàçîâàíèå

ãäå V — ìàòðèöà, ñîñòàâëåííàÿ ïî ñòîëáöàì èç ôîðì ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé. Ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé

è ïðåîáðàçîâàíèÿ âåêòîðà ñòàòè÷åñêîãî ïåðåìåùåíèÿ ê ãëàâíûì îñÿì èñõîäíàÿ ñèñòåìà ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå

Êàæäîå óðàâíåíèå (17) îïèñûâàåò ïîâåäåíèå ñèñòåìû ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû. Ðåøåíèå êàæäîãî óðàâíåíèÿ (17) èìååò âèä

Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ â èñõîäíûõ îáîáùåííûõ êîîðäèíàòàõ íåîáõîäèìî ó÷åñòü ïðåîáðàçîâàíèå (15)

Ïðè ýòîì äîëæíî áûòü âûðàæåíî ÷åðåç ñòàòè÷åñêèå ïåðåìåùåíèÿ.

<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Îãëàâëåíèå