Ãëàâíàÿ > Ôèçèêà > Âèáðàöèè â òåõíèêå, Ò. 1. Êîëåáàíèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô
Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Ìàêåòû ñòðàíèö

3. ÑÈÑÒÅÌÛ Ñ ÎÄÍÎÉ ÑÒÅÏÅÍÜÞ ÑÂÎÁÎÄÛ. ÎÁËÀÑÒÈ ÍÅÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÜÅ — ÕÈËËÀ

Óðàâíåíèå Ìàòüå — Õèëëà. Óðàâíåíèå êîëåáàíèé äíññèïàòèâèîé ñèñòåìû ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû ïðèâîäèòñÿ ê âèäó

ãäå èñïîëüçîâàíû îáîçíà÷åíèÿ, ïðèâåäåííûå â ãë. III. Êðîìå òîãî, ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿ äëÿ -ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè âîçáóæäåíèÿ è êîýôôèöèåíòà âîçáóæäåíèÿ Ïðè èç óðàâíåíèÿ (20) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå Ìàòüå — Õèëëà

Åñëè òî óðàâíåíèå (20) ïðèâîäèòñÿ ê âèäó (21) ïîäñòàíîâêîé

Ôóíêöèÿ è óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ

Îáëàñòè íåóñòîé÷èâîñòè óðàâíåíèÿ Ìàòüå — Õèëëà íà ïëîñêîñòè ïðèìûêàþò ê ÷àñòîòíûì ñîîòíîøåíèÿì

Ãàðìîíè÷åñêîå ïàðàìåòðè÷åñêîå âîçáóæäåíèå. Îáëàñòè íåóñòîé÷èâîñòè óðàâíåíèÿ Ìàòüå. Ïðè ãàðìîíè÷åñêîì âîçáóæäåíèè óðàâíåíèå (21) íàçûâàþò óðàâíåíèåì Ìàòüå. Çàïèøåì åãî â âèäå

èëè â äðóãîé óïîòðåáèòåëüíîé ôîðìå

Ïåðåõîä îäíîé çàïèñè ê äðóãîé îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðè ïîìîùè ôîðìóë

(ñì. ñêàí)

ðàñïðåäåëåíèå îáëàñòåé íåóñòîé÷èâîñòè íà ïëîñêîñòè à ïîêàçàíî íà ðèñ. 3. Íà ãïàíèöå îáëàñòåé óðàâíåíèå (26) èìååò ïåðèîäè÷åñêèå ðåøåíèÿ, îáîçíà÷àåìûå (ôóíêöèè Ìàòüå öåëîãî ïîðÿäêà). Äèàãðàììó, ïðèâåäåííóþ íà ðèñ. 3, íàçûâàþò äèàãðàììîé Àéíñà — Ñòðåòòà.

Íà ðèñ. 4 èçîáðàæåíû ïåðâûå òðè îáëàñòè íåóñòîé÷èâîñòè íà ïëîñêîñòè Êëèíüÿ îáëàñòåé ïðèìûêàþò ê ÷àñòîòàì (24). Îòíîñèòåëüíàÿ øèðèíà îáëàñòè ãëàâíîãî ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà èìååò ïîðÿäîê

Ðèñ. 3 Äèàãðàììà Àéíñà—Ñòðåòòà

Ðèñ. 4. Ïåðâûå òðè îáëàñòè íåóñòîé÷èâîñòè äëÿ óðàâíåíèÿ Ìàòüå

Ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ ãðàíèöû ýòîé îáëàñòè ìîãóòáûòü ðàññ÷èòàíû ïî ôîðìóëå

Îòíîñèòåëüíàÿ øèðèíà âòîðîãî, òðåòüåãî è ò. ä. ïîáî÷íûõ ðåçîíàíñîâ èìååò ïîðÿäîê Ôîðìóëû äëÿ ðàñ÷åòà ãðàíèö ïåðâûõ ïÿòè îáëàñòåé íåóñòîé÷èâîñòè äàíû â òàáë. 1.

Êóñî÷íî-ïîñòîÿííîå ïàðàìåòðè÷åñêîå âîçáóæäåíèå. Îáëàñòè íåóñòîé÷èâîñòè óðàâíåíèÿ Ìåéññíåðà. Åñëè ôóíêöèÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííàÿ, òî ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé è, ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöà ïåðåõîäà ìîãóò áûòü ïîñòðîåíû â çàìêíóòîì âèäå â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ.

Ãðàíèöû îáëàñòåé íåóñòîé÷èâîñòè âû÷èñëÿþò èç óñëîâèÿ

ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (21), óäîâëåòâîðÿþùèå íà÷àëüíûì óñëîâèÿì Ïóñòü, íàïðèìåð,

Óðàâíåíèå (21) ñ ôóíêöèåé â âèäå (30) íàçûâàþò óðàâíåíèåì Ìåéññíåðà. Óñëîâèå (29) äëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ

Îáëàñòè íåóñòîé÷èâîñòè äëÿ óðàâíåíèÿ Ìåéññíåðà ïîêàçàíû íà ðèñ. 5.  îòëè÷èå îò ðèñ. 4 ïî îñè îðäèíàò îòëîæåíî îáðàòíîå ÷àñòîòíîå îòíîøåíèå Õàðàêòåðíûì äëÿ ýòîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ «ïåðåêðó÷èâàíèå» îáëàñòåé íåóñòîé÷èâîñòè.

Ðèñ. 5. Îáëàñòè íåóñòîé÷èâîñòè äëÿ óðàâíåíèÿ Ìåéññíåðà

Ðèñ. 6. Îáëàñòè íåóñòîé÷èâîñòè äëÿ óðàâíåíèÿ Ìàòüå ñ äåìïôèðîâàíèåì ïðè

Îïðåäåëåíèå îáëàñòåé íåóñòîé÷èâîñòè óðàâíåíèÿ Ìàòüå — Õèëëà â îáùåì ñëó÷àå. Ïóñòü ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëåíà â âèäå ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà Ôóðüå

Íà ãðàíèöàõ ïåðâîé, òðåòüåé è ò. ä. îáëàñòåé íåóñòîé÷èâîñòè îäíî èç ðåøåíèé áóäåò -ïåðèîäè÷åñêèì. Èñïîëüçóÿ ýòîò ôàêò, èùåì ãðàíèöû ýòèõ îáëàñòåé èç óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ ñ ýòèì ïåðèîäîì. Óðàâíåíèå äëÿ íàõîæäåíèÿ ãðàíèö èìååò âèä óñëîâèÿ ðàâåíñòâà íóëþ íåêîòîðîãî áåñêîíå÷íîãî îïðåäåëèòåëÿ

Ãðàíèöû âòîðîé, ÷åòâåðòîé è ò. ä. îáëàñòåé íåóñòîé÷èâîñòè èùåì èç óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ -ïåðèîäè÷åñêîãî ðåøåíèÿ.  ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ

Ïðèáëèæåííûå àíàëèòè÷åñêèå è ÷èñëåííûå ðåçóëüòàòû ìîæíî ïîëó÷èòü, ðàññìàòðèâàÿ êîíå÷íûå îïðåäåëèòåëè, ñîîòâåòñòâóþùèå óñå÷åííûì ðÿäàì Ôóðüå.  ïåðâîì ïðèáëèæåíèè (ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ïîðÿäêà ãðàíèöû îáëàñòåé íåóñòîé÷èâîñòè íàõîäÿò ïî ôîðìóëå

èç êîòîðîé âèäíî, ÷òî øèðèíà îáëàñòè çàâèñèò â ïåðâóþ î÷åðåäü îò ñîîòâåòñòâóþùèõ êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå â ðàçëîæåíèè (32).

Âëèÿíèå äèññèïàöèè íà óñòîé÷èâîñòü ïàðàìåòðè÷åñêè âîçáóæäàåìûõ ñèñòåì. Ïàðàìåòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñèñòåìû ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèåì (20). Ñîãëàñíî (22) îáëàñòè íåóñòîé÷èâîñòè ïðè ëåæàò âíóòðè ñîîòâåòñòâóþùèõ îáëàñòåé óðàâíåíèÿ (23), íî ìîãóò áûòü ñìåùåíû îòíîñèòåëüíî îáëàñòåé íåóñòîé÷èâîñòè óðàâíåíèÿ (21). Íàëè÷èå äåìïôèðîâàíèÿ äåëàåò íåâîçìîæíûì ïàðàìåòðè÷åñêîå âîçáóæäåíèå ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ Ïðè ýòîì âëèÿíèå äåìïôèðîâàíèÿ òåì ñèëüíåå, ÷åì âûøå ïîðÿäîê ïîáî÷íîãî ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà. Òèïè÷íûå îáëàñòè íåóñòîé÷èâîñòè äëÿ óðàâíåíèÿ Ìàòüå ñ äåìïôèðîâàíèåì

ïðèâåäåíû íà ðèñ. 6.

Ðàñ÷åò ãðàíèö îáëàñòåé íåóñòîé÷èâîñòè ïðè íàëè÷èè äèññèïàöèè. Íà ãðàíèöàõ óðàâíåíèå (20) èìååò ðåøåíèå ñ ïåðèîäîì èëè Óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ýòèõ ðåøåíèé äëÿ ñëó÷àÿ (36) ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ äëÿ íàõîæäåíèÿ ãðàíèö ïåðâîé, òðåòüåé è ò. ï. îáëàñòåé íåóñòîé÷èâîñòè:

ãäå ÷àñòîòíîå îòíîøåíèå; äåêðåìåíò ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé. Àíàëîãè÷íûé âèä èìååò óðàâíåíèå äëÿ ãðàíèö îáëàñòåé ÷åòíîãî ïîðÿäêà:

Ïðèáëèæåííûé ðàñ÷åò ïðîèçâîäÿò ñ èñïîëüçîâàíèåì óñå÷åííûõ îïðåäåëèòåëåé [9]. Äëÿ ãëàâíîãî ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà

Ãðàíèöû ñëåäóþùåé îáëàñòè íåóñòîé÷èâîñòè ìîãóò áûòü íàéäåíû ïî ôîðìóëå

è ò. ä. Áîëåå òî÷íûå ôîðìóëû ïîëó÷àþòñÿ ïóòåì ñèñòåìàòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ ïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðà

Êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ âîçáóæäåíèÿ. Íàèìåíüøåå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà âîçáóæäåíèÿ, ïðè êîòîðîì âîçìîæíî âîçíèêíîâåíèå íåóñòîé÷èâîñòè, íàçûâàþò êðèòè÷åñêèì. Ïðèáëèæåííîå êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå äëÿ ãëàâíîãî ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà â ñèñòåìå, îïèñûâàåìîé óðàâíåíèåì (20), ëåãêî íàéòè èç ñîîòíîøåíèÿ (39):

Äëÿ âòîðîãî ðåçîíàíñà àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì

Âîîáùå äëÿ îáëàñòè íåóñòîé÷èâîñòè

<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Îãëàâëåíèå