Ãëàâíàÿ > Ôèçèêà > Âèáðàöèè â òåõíèêå, Ò. 1. Êîëåáàíèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô
Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Ìàêåòû ñòðàíèö

6. ÈÇÃÈÁÍÛÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß ÏËÀÑÒÈÍ

Ïîä ïëàñòèíîé ïîíèìàþò òîíêîå äâóõìåðíîå òåëî, îäèí ðàçìåð êîòîðîãî (òîëùèíà) ìíîãî ìåíüøå äâóõ äðóãèõ ðàçìåðîâ è ñðåäèííàÿ ïîâåðõíîñòü êîòîðîãî åñòü ïëîñêîñòü. Ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòüþ íàçûâàþò ïîâåðõíîñòü, ðàâíîîòñòîÿùóþ îò âíåøíèõ (ëèöåâûõ) ïîâåðõíîñòåé äâóõìåðíîãî òåëà.

Êëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿ.  îñíîâå òåîðèè ëåæèò ñîâîêóïíîñòü äîïóùåíèé, íàçûâàåìàÿ ãèïîòåçàìè Êèðõãîôà — Ëÿâà: ïðÿìîëèíåéíûé ýëåìåíò, íîðìàëüíûé ê ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè äî äåôîðìàöèè, îñòàåòñÿ ïðÿìûì è íîðìàëüíûì ê ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè, íå ìåíÿÿ ñâîåé äëèíû. Äåôîðìàöèè ïðåäïîëàãàþòñÿ ìàëûìè.  ïëàñòèíå ðåàëèçóåòñÿ îáîáùåííîå ïëîñêîå íàïðÿæåííîå ñîñòîÿíèå, â ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ î òîì, ÷òî ïðåíåáðåæèìî ìàëû. Ñóùåñòâåííûå êîìïîíåíòû òåíçîðîâ äåôîðìàöèé è íàïðÿæåíèé ëèíåéíî èçìåíÿþòñÿ ïî òîëùèíå. Äåôîðìàöèþ ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè ïðè èçãèáå ïëàñòèí íå ó÷èòûâàþò.

Ïóñòü ïëàñòèíà îòíåñåíà ê ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ äåôîðìàöèè

ãäå öèëèíäðè÷åñêàÿ æåñòêîñòü ïëàñòèíû. Ïðè ïîäñ÷åòå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ó÷èòûâàþò òîëüêî íîðìàëüíûå ñèëû èíåðöèè

Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî íà ïëàñòèíó äåéñòâóåò íîðìàëüíàÿ íàãðóçêà, à íà êîíòóðå ïðèëîæåíû ïîïåðå÷íûå ñèëû èçãèáàþùèå è êðóòÿùèå ìîìåíòû íîðìàëü è êàñàòåëüíàÿ ê êîíòóðó), òîãäà ïîòåíöèàë âíåøíèõ ñèë

Íà ýëåìåíò ïëàñòèíû äåéñòâóþò èçãèáàþùèå è êðóòÿùèå ìîìåíòû è ïîïåðå÷íûå ñèëû

ãäå îïåðàòîð Ëàïëàñà.

Óðàâíåíèå èçãèáíûõ êîëåáàíèé èìååò ñëåäóþùèé âèä:

Åñëè òîëùèíà îäíîðîäíîé ïëàñòèíû ïîñòîÿííà (öèëèíäðè÷åñêàÿ æåñòêîñòü òî óðàâíåíèå êîëåáàíèé ïðèíèìàåò ôîðìó

Àëüòåðíàòèâíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ èìåþò âèä

Äðóãèå âèäû êðàåâûõ óñëîâèé àíàëîãè÷íû ïîäîáíûì óñëîâèÿì äëÿ ñòåðæíÿ (ñì. òàáë. 6).

Êðèâîëèíåéíûå êîîðäèíàòû. Ïóñòü ïëàñòèíà îòíåñåíà ê êðèâîëèíåéíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò Óðàâíåíèå (111) äëÿ ïëàñòèí ïîñòîÿííîé æåñòêîñòè îñòà¸òñÿ ñïðàâåäëèâûì, òîëüêî äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà ñëåäóåò âçÿòü âûðàæåíèå

Ïðèìåð. Êðóãëûå ïëàñòèíû, îòíåñåííûå ê ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (ïàðà ìåòðû Ëàìå ðàâíû ïðè êîëåáàíèÿõ ïîä÷èíÿþòñÿ óðàâíåíèþ

Ïðèâåäåì òàêæå âûðàæåíèÿ äëÿ ìîìåíòîâ è ïîïåðå÷íûõ ñèë â êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ:

Îðòîòðîïíûå ïëàñòèíû. Êîëåáàíèÿ îðòîòðîïíûõ ïëàñòèí ïîñòîÿííîé òîëùèíû îïèñûâàþò óðàâíåíèåì

ãäå öèëèíäðè÷åñêèå æåñòêîñòè ñîîòâåòñòâåííî â íàïðàâëåíèè îñåé ñìåøàííàÿ æåñòêîñòü. Ââåäåííûå æåñòêîñòè îïðåäåëÿþò ïî ôîðìóëàì

ãäå æåñòêîñòü ïðè êðó÷åíèè.

Ó÷åò òàíãåíöèàëüíûõ óñèëèé â ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè. Ïðè äåéñòâèè ïîñòîÿííûõ óñèëèé â ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè âìåñòî óðàâíåíèÿ (111) ñ ó÷åòîì (113) ñëåäóåò âçÿòü

Ïðè ôîðìóëèðîâêå êðàåâûõ óñëîâèé íåîáõîäèìî ó÷åñòü âêëàä òàíãåíöèàëüíûõ óñèëèé â ïîïåðå÷íûå ñèëû. Òàê, äëÿ íåçàêðåïëåííîãî çàãðóæåííîãî êðàÿ äîëæíî áûòü

Ó÷åò ïîïåðå÷íûõ ñäâèãîâ è èíåðöèè âðàùåíèÿ â òåîðèè êîëåáàíèé ïëàñòèí. Êëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿ ïëàñòèí ïðèìåíèìà, êîãäà òîëùèíà ïëàñòèíû ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ õàðàêòåðíûì ìàñøòàáîì èçìåíåíèÿ íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ  ýòîì ñëó÷àå îïðàâäàíî ïðåíåáðåæåíèå âëèÿíèåì äåôîðìàöèé ïîïåðå÷íûõ ñäâèãîâ è èíåðöèåé âðàùåíèÿ íîðìàëüíûõ ýëåìåíòîâ. Åñëè óêàçàííîå âûøå óñëîâèå íàðóøàåòñÿ òî ïðè ðàññìîòðåíèè çàäà÷ êîëåáàíèé ïëàñòèí íåîáõîäèì ó÷åò äåôîðìàöèé ïîïåðå÷íûõ ñäâèãîâ è èíåðöèè âðàùåíèÿ íîðìàëüíûõ ýëåìåíòîâ. Ðàñïðîñòðàíåíèå òåîðèè Òèìîøåíêî äëÿ ñòåðæíåé íà ïëàñòèíû ïðèâîäèò ê óðàâíåíèÿì

ãäå è — îñðåäíåííûå óãëû ñäâèãà. Ïàðàìåòð õ, òàêæå çàâèñÿùèé îò ðàñïðåäåëåíèÿ ñäâèãîâ ïî òîëùèíå ïëàñòèíû, ìîæåò áûòü ïðèíÿò ðàâíûì (ðàñïðåäåëåíèå ñäâèãîâ, êàê â êëàññè÷åñêîé òåîðèè), èëè (îòíîøåíèå ñðåäíåãî êàñàòåëüíîãî íàïðÿæåíèÿ ê ìàêñèìàëüíîìó), èëè ãäå êîðåíü óðàâíåíèÿ

ðàñïîëîæåííûé íà îòðåçêå [0, 1] (íàèëó÷øåå ñîâïàäåíèå ñêîðîñòåé ðàñïðîñòðàíåíèÿ ìàëûõ âîçìóùåíèé ñ ðåçóëüòàòàìè òðåõìåðíîé òåîðèè).

Åñòåñòâåííûå êðàåâûå óñëîâèÿ íà êðàþ ñëåäóþùèå:

Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ äèíàìèêè ïëàñòèí â óòî÷íåííîé ïîñòàíîâêå óäîáíî áûâàåò ââåñòè ïîòåíöèàëüíûå ôóíêöèè

Òîãäà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïðèíèìàþò ñëåäóþùóþ ôîðìó [69, 87]:

Ïðè èñïîëüçîâàíèè ýòèõ óðàâíåíèé êðàåâûå óñëîâèÿ òàêæå äîëæíû áûòü âûðàæåíû ÷åðåç ïîòåíöèàëüíûå ôóíêöèè

Äîïîëíèòåëüíûå ñâåäåíèÿ î ðàçëè÷íûõ òèïàõ óðàâíåíèé êîëåáàíèé ïëàñòèí ìîæíî íàéòè â .

<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Îãëàâëåíèå