6. ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИН

Под пластиной понимают тонкое двухмерное тело, один размер которого (толщина) много меньше двух других размеров и срединная поверхность которого есть плоскость. Срединной поверхностью называют поверхность, равноотстоящую от внешних (лицевых) поверхностей двухмерного тела.

Классическая теория. В основе теории лежит совокупность допущений, называемая гипотезами Кирхгофа — Лява: прямолинейный элемент, нормальный к срединной поверхности до деформации, остается прямым и нормальным к срединной поверхности, не меняя своей длины. Деформации предполагаются малыми. В пластине реализуется обобщенное плоское напряженное состояние, в силу предположения о том, что пренебрежимо малы. Существенные компоненты тензоров деформаций и напряжений линейно изменяются по толщине. Деформацию срединной поверхности при изгибе пластин не учитывают.

Пусть пластина отнесена к прямоугольной декартовой системе координат Потенциальная энергия деформации

где цилиндрическая жесткость пластины. При подсчете кинетической энергии учитывают только нормальные силы инерции

Предполагаем, что на пластину действует нормальная нагрузка, а на контуре приложены поперечные силы изгибающие и крутящие моменты нормаль и касательная к контуру), тогда потенциал внешних сил

На элемент пластины действуют изгибающие и крутящие моменты и поперечные силы

где оператор Лапласа.

Уравнение изгибных колебаний имеет следующий вид:

Если толщина однородной пластины постоянна (цилиндрическая жесткость то уравнение колебаний принимает форму

Альтернативные граничные условия имеют вид

Другие виды краевых условий аналогичны подобным условиям для стержня (см. табл. 6).

Криволинейные координаты. Пусть пластина отнесена к криволинейной системе координат Уравнение (111) для пластин постоянной жесткости остаётся справедливым, только для оператора Лапласа следует взять выражение

Пример. Круглые пластины, отнесенные к полярной системе координат (пара метры Ламе равны при колебаниях подчиняются уравнению

Приведем также выражения для моментов и поперечных сил в криволинейных координатах:

Ортотропные пластины. Колебания ортотропных пластин постоянной толщины описывают уравнением

где цилиндрические жесткости соответственно в направлении осей смешанная жесткость. Введенные жесткости определяют по формулам

где жесткость при кручении.

Учет тангенциальных усилий в срединной поверхности. При действии постоянных усилий в срединной поверхности вместо уравнения (111) с учетом (113) следует взять

При формулировке краевых условий необходимо учесть вклад тангенциальных усилий в поперечные силы. Так, для незакрепленного загруженного края должно быть

Учет поперечных сдвигов и инерции вращения в теории колебаний пластин. Классическая теория пластин применима, когда толщина пластины мала по сравнению с характерным масштабом изменения напряженно-деформированного состояния В этом случае оправдано пренебрежение влиянием деформаций поперечных сдвигов и инерцией вращения нормальных элементов. Если указанное выше условие нарушается то при рассмотрении задач колебаний пластин необходим учет деформаций поперечных сдвигов и инерции вращения нормальных элементов. Распространение теории Тимошенко для стержней на пластины приводит к уравнениям

где и — осредненные углы сдвига. Параметр х, также зависящий от распределения сдвигов по толщине пластины, может быть принят равным (распределение сдвигов, как в классической теории), или (отношение среднего касательного напряжения к максимальному), или где корень уравнения

расположенный на отрезке [0, 1] (наилучшее совпадение скоростей распространения малых возмущений с результатами трехмерной теории).

Естественные краевые условия на краю следующие:

При решении задач динамики пластин в уточненной постановке удобно бывает ввести потенциальные функции

Тогда уравнения движения принимают следующую форму [69, 87]:

При использовании этих уравнений краевые условия также должны быть выражены через потенциальные функции

Дополнительные сведения о различных типах уравнений колебаний пластин можно найти в .