6. ÈÇÃÈÁÍÛÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß ÏËÀÑÒÈÍ
Ïîä ïëàñòèíîé ïîíèìàþò òîíêîå äâóõìåðíîå òåëî, îäèí ðàçìåð êîòîðîãî (òîëùèíà) ìíîãî ìåíüøå äâóõ äðóãèõ ðàçìåðîâ è ñðåäèííàÿ ïîâåðõíîñòü êîòîðîãî åñòü ïëîñêîñòü. Ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòüþ íàçûâàþò ïîâåðõíîñòü, ðàâíîîòñòîÿùóþ îò âíåøíèõ (ëèöåâûõ) ïîâåðõíîñòåé äâóõìåðíîãî òåëà.
Êëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿ.  îñíîâå òåîðèè ëåæèò ñîâîêóïíîñòü äîïóùåíèé, íàçûâàåìàÿ ãèïîòåçàìè Êèðõãîôà — Ëÿâà: ïðÿìîëèíåéíûé ýëåìåíò, íîðìàëüíûé ê ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè äî äåôîðìàöèè, îñòàåòñÿ ïðÿìûì è íîðìàëüíûì ê ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè, íå ìåíÿÿ ñâîåé äëèíû. Äåôîðìàöèè ïðåäïîëàãàþòñÿ ìàëûìè.  ïëàñòèíå ðåàëèçóåòñÿ îáîáùåííîå ïëîñêîå íàïðÿæåííîå ñîñòîÿíèå, â ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ î òîì, ÷òî
ïðåíåáðåæèìî ìàëû. Ñóùåñòâåííûå êîìïîíåíòû òåíçîðîâ äåôîðìàöèé è íàïðÿæåíèé
ëèíåéíî èçìåíÿþòñÿ ïî òîëùèíå. Äåôîðìàöèþ ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè ïðè èçãèáå ïëàñòèí íå ó÷èòûâàþò.
Ïóñòü ïëàñòèíà îòíåñåíà ê ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ äåôîðìàöèè
ãäå
öèëèíäðè÷åñêàÿ æåñòêîñòü ïëàñòèíû. Ïðè ïîäñ÷åòå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ó÷èòûâàþò òîëüêî íîðìàëüíûå ñèëû èíåðöèè
Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî íà ïëàñòèíó äåéñòâóåò íîðìàëüíàÿ íàãðóçêà, à íà êîíòóðå ïðèëîæåíû ïîïåðå÷íûå ñèëû
èçãèáàþùèå è êðóòÿùèå ìîìåíòû
íîðìàëü è êàñàòåëüíàÿ ê êîíòóðó), òîãäà ïîòåíöèàë âíåøíèõ ñèë
Íà ýëåìåíò ïëàñòèíû äåéñòâóþò èçãèáàþùèå è êðóòÿùèå ìîìåíòû è ïîïåðå÷íûå ñèëû
ãäå
îïåðàòîð Ëàïëàñà.
Óðàâíåíèå èçãèáíûõ êîëåáàíèé èìååò ñëåäóþùèé âèä:
Åñëè òîëùèíà
îäíîðîäíîé ïëàñòèíû ïîñòîÿííà (öèëèíäðè÷åñêàÿ æåñòêîñòü
òî óðàâíåíèå êîëåáàíèé ïðèíèìàåò ôîðìó
Àëüòåðíàòèâíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ èìåþò âèä
Äðóãèå âèäû êðàåâûõ óñëîâèé àíàëîãè÷íû ïîäîáíûì óñëîâèÿì äëÿ ñòåðæíÿ (ñì. òàáë. 6).
Êðèâîëèíåéíûå êîîðäèíàòû. Ïóñòü ïëàñòèíà îòíåñåíà ê êðèâîëèíåéíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
Óðàâíåíèå (111) äëÿ ïëàñòèí ïîñòîÿííîé æåñòêîñòè îñòà¸òñÿ ñïðàâåäëèâûì, òîëüêî äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà ñëåäóåò âçÿòü âûðàæåíèå
Ïðèìåð. Êðóãëûå ïëàñòèíû, îòíåñåííûå ê ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
(ïàðà ìåòðû Ëàìå ðàâíû
ïðè êîëåáàíèÿõ ïîä÷èíÿþòñÿ óðàâíåíèþ
Ïðèâåäåì òàêæå âûðàæåíèÿ äëÿ ìîìåíòîâ è ïîïåðå÷íûõ ñèë â êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ:
Îðòîòðîïíûå ïëàñòèíû. Êîëåáàíèÿ îðòîòðîïíûõ ïëàñòèí ïîñòîÿííîé òîëùèíû îïèñûâàþò óðàâíåíèåì
ãäå
öèëèíäðè÷åñêèå æåñòêîñòè ñîîòâåòñòâåííî â íàïðàâëåíèè îñåé
ñìåøàííàÿ æåñòêîñòü. Ââåäåííûå æåñòêîñòè îïðåäåëÿþò ïî ôîðìóëàì
ãäå
æåñòêîñòü ïðè êðó÷åíèè.
Ó÷åò òàíãåíöèàëüíûõ óñèëèé â ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè. Ïðè äåéñòâèè ïîñòîÿííûõ óñèëèé â ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè âìåñòî óðàâíåíèÿ (111) ñ ó÷åòîì (113) ñëåäóåò âçÿòü
Ïðè ôîðìóëèðîâêå êðàåâûõ óñëîâèé íåîáõîäèìî ó÷åñòü âêëàä òàíãåíöèàëüíûõ óñèëèé â ïîïåðå÷íûå ñèëû. Òàê, äëÿ íåçàêðåïëåííîãî çàãðóæåííîãî êðàÿ
äîëæíî áûòü
Ó÷åò ïîïåðå÷íûõ ñäâèãîâ è èíåðöèè âðàùåíèÿ â òåîðèè êîëåáàíèé ïëàñòèí. Êëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿ ïëàñòèí ïðèìåíèìà, êîãäà òîëùèíà ïëàñòèíû ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ õàðàêòåðíûì ìàñøòàáîì èçìåíåíèÿ íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ
 ýòîì ñëó÷àå îïðàâäàíî ïðåíåáðåæåíèå âëèÿíèåì äåôîðìàöèé ïîïåðå÷íûõ ñäâèãîâ è èíåðöèåé âðàùåíèÿ íîðìàëüíûõ ýëåìåíòîâ. Åñëè óêàçàííîå âûøå óñëîâèå íàðóøàåòñÿ
òî ïðè ðàññìîòðåíèè çàäà÷ êîëåáàíèé ïëàñòèí íåîáõîäèì ó÷åò äåôîðìàöèé ïîïåðå÷íûõ ñäâèãîâ è èíåðöèè âðàùåíèÿ íîðìàëüíûõ ýëåìåíòîâ. Ðàñïðîñòðàíåíèå òåîðèè Òèìîøåíêî äëÿ ñòåðæíåé íà ïëàñòèíû ïðèâîäèò ê óðàâíåíèÿì
ãäå
è
— îñðåäíåííûå óãëû ñäâèãà. Ïàðàìåòð õ, òàêæå çàâèñÿùèé îò ðàñïðåäåëåíèÿ ñäâèãîâ ïî òîëùèíå ïëàñòèíû, ìîæåò áûòü ïðèíÿò ðàâíûì
(ðàñïðåäåëåíèå ñäâèãîâ, êàê â êëàññè÷åñêîé òåîðèè), èëè
(îòíîøåíèå ñðåäíåãî êàñàòåëüíîãî íàïðÿæåíèÿ ê ìàêñèìàëüíîìó), èëè
ãäå
êîðåíü óðàâíåíèÿ
ðàñïîëîæåííûé íà îòðåçêå [0, 1] (íàèëó÷øåå ñîâïàäåíèå ñêîðîñòåé ðàñïðîñòðàíåíèÿ ìàëûõ âîçìóùåíèé ñ ðåçóëüòàòàìè òðåõìåðíîé òåîðèè).
Åñòåñòâåííûå êðàåâûå óñëîâèÿ íà êðàþ
ñëåäóþùèå:
Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ äèíàìèêè ïëàñòèí â óòî÷íåííîé ïîñòàíîâêå óäîáíî áûâàåò ââåñòè ïîòåíöèàëüíûå ôóíêöèè
Òîãäà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïðèíèìàþò ñëåäóþùóþ ôîðìó [69, 87]:
Ïðè èñïîëüçîâàíèè ýòèõ óðàâíåíèé êðàåâûå óñëîâèÿ òàêæå äîëæíû áûòü âûðàæåíû ÷åðåç ïîòåíöèàëüíûå ôóíêöèè
Äîïîëíèòåëüíûå ñâåäåíèÿ î ðàçëè÷íûõ òèïàõ óðàâíåíèé êîëåáàíèé ïëàñòèí ìîæíî íàéòè â
.