4. СТРУКТУРА СПЕКТРА СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ

Дискретный (точечный) спектр. Если вполне непрерывный, положительно определенный оператор, то спектр частот — точечный. Это характерно для большинства прикладных задач теории упругих колебаний.

Сплошной спектр. Этот случай типичен для неограниченных упругих тел. Например, уравнение для изгибных колебаний бесконечной балки постоянного сечения имеет вид

а дополнительные условия сводятся к требованию ограниченности функции и ее первых трех производных всюду при Эти условия будут удовлетворены, если положить

где X — любое положительное число (длина полуволны у собственной формы), со — собственные частоты:

т. е. любое число из интервала будет собственной частотой (рис. 1, а).

Спектр может начинаться с частоты (рис. 1, б). Для примера достаточно дополнить рассмотренную балку упругим безынерционным основанием Винклера с коэффициентом упругости с. Тогда

Смешанный спектр. Можно сконструировать примеры упругих систем, где наряду с участками сплошного спектра имеются точечные частоты. Так, добавляя к бесконечной балке на основании Винклера сосредоточенную массу получим спектр, изображенный на рис. 1, в. При этом точечная частота является действительным корнем уравнения

а сплошной спектр начинается с частоты

Полосовой спектр. Спектр частот, состоящий из счетного множества отрезков при показан на рис. 1,г. Такой спектр имеет, например, бесконечная неразрезная балка с равными пролетами. Нижняя частота для каждой полосы частот равна собственной частоте однопролетной балки с опертыми концами, верхняя частота — собственной частоте однопролетной балки с защемленными концами.

Рис. I. Примеры спектров собственных частот: а — сплошной; б - сплошной, начинающийся с некоторой частоты в — смешанный; г - полосовой

Общие замечания о структуре спектра. Если рассматривать неограниченные системы как предел систем конечных размеров, то в результате предельного перехода получим системы с точечным, хотя и сколь угодно плотным спектром. С теоретической точки зрения вопрос о структуре спектра является весьма существенным. Например, если спектр сплошной, то вместо разложения (18) в ряд по собственным элементам необходимо использовать аналогичное интегральное преобразование. С практической точки зрения, начиная с некоторого достаточно плотного спектра, различие между этим спектром и сплошным спектром становится несущественным. Из-за наличия демпфирования и конечной разрешающей способности виброизмерительных приборов, из-за случайного дрейфа частот и т. п. при эксперименте не всегда удается разделить вклад близких собственных частот в вибрационное поле.