4. ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДОВ К РАСЧЕТУ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

Научная библиотека

Математический справочник

ЕГЭ и ОГЭ

Хочу знать

Научная библиотека

Главная > Физика > Вибрации в технике, Т. 1. Колебания линейных систем

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Макеты страниц

4. ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДОВ К РАСЧЕТУ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

Многие из приближенных методов (см. гл. X) могут быть распространены на задачи о вынужденных колебаниях. Так, при применении вариационного метода Бубнова-Галеркина приближенное решение уравнения (3) ищется в виде ряда

где некоторые коэффициенты; совокупность элементов из области определения оператора С (например, функции, удовлетворяющие как кинематическим, так и динамическим граничным условиям). Подстановка ряда (28) в уравнение (3) и требование ортогональности результата подстановки к каждому элементу приводят к системе линейных алгебраических уравнений

Использование ранее введенных обозначений позволяет записать уравнения (29) в виде

Система уравнений (30) разрешима, когда частота не совпадает ни с одним из корней уравнения которое служит для определения собственных частот колебаний по методу Бубнова-Галеркина. Если базисные элементы в (28) совпадают с формами собственных колебаний системы, т. е. матрицы становятся диагональными. Для случая, когда система -полная, решение системы (30) переходит в точное решение (27).

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ К СПРАВОЧНИКУ «ВИБРАЦИИ В ТЕХНИКЕ»
Часть первая. КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
1. ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ
2. КЛАССИФИКАЦИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
3. КЛАССИФИКАЦИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
4. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
5. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
6. ДРУГИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
Глава II. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
2. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА И УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАСС В АБСОЛЮТНО ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
4. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
5. АНАЛОГИИ В ДИНАМИКЕ. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Глава III. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ
1. УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ
2. СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ КОЛЕБАНИЙ
3. НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
4. СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ СИСТЕМ С ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
5. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И СОБСТВЕННЫХ ФОРМ КОЛЕБАНИЙ
6. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГО ПОДВЕШЕННОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
7. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ УПРУГО ПОДВЕШЕННЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Глава IV. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И СОБСТВЕННЫХ ФОРМ ДЛЯ СИСТЕМ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
1. ОБЗОР ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
2. РЕШЕНИЕ ПОЛНОЙ ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НИЗШИХ (ВЫСШИХ) СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
4. РАЗВЕРТЫВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
Глава V. НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
1. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ
2. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ
3. УСТОЙЧИВОСТЬ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
4. КРИТЕРИИ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Глава VI. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
1. НЕДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
2. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ ПРИ УЧЕТЕ СИЛ ВЯЗКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
3. НЕДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
4. ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
5. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
6. РАСЧЕТ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ НА ИМПУЛЬСНЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
7. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
Глава VII. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
2. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ РЕЗОНАНСЫ
3. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ. ОБЛАСТИ НЕУСТОЙЧИВОСТИ УРАВНЕНИЯ МАТЬЕ — ХИЛЛА
4. ОБЛАСТИ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ СИСТЕМ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
5. СВОЙСТВА ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ВОЗБУЖДАЕМЫХ СИСТЕМ
Часть вторая. КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
1. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА — ОСТРОГРАДСКОГО ДЛЯ УПРУГИХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
2. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ УПРУГИХ ТЕЛ
3. УЧЕТ ДИССИПАЦИИ В УРАВНЕНИЯХ ДВИЖЕНИЯ. ВЯЗКОУПРУГОЕ ПОВЕДЕНИЕ ДЕФОРМИРУЕМЫХ МАТЕРИАЛОВ
4. КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ. ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ
5. ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ
6. ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИН
7. КОЛЕБАНИЯ ТОНКИХ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК
Глава IX. ОБЩИЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И СОБСТВЕННЫХ ФОРМ УПРУГИХ СИСТЕМ
2. СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И СОБСТВЕННЫХ ФОРМ
3. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ
4. СТРУКТУРА СПЕКТРА СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
5. ПЛОТНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
Глава X. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И СОБСТВЕННЫХ ФОРМ УПРУГИХ СИСТЕМ
2. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА (МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ)
3. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
4. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
5. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД
6. МЕТОД РЕЛЕЯ И РОДСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ
7. МЕТОДЫ РИТЦА, БУБНОВА — ГАЛЕРКИНА, КОЛЛОКАЦИЙ И РОДСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ
8. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
9. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
10. МЕТОДЫ ДИНАМИЧЕСКИХ ЖЕСТКОСТЕЙ И ПОДАТЛИВОСТЕЙ
Глава XI. СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
2. ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ
3. ИЗГИБНО-КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ
4. РАСЧЕТ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И СОБСТВЕННЫХ ФОРМ КОЛЕБАНИЙ ПО МЕТОДАМ ДИНАМИЧЕСКИХ ЖЕСТКОСТЕЙ И ДИНАМИЧЕСКИХ ПОДАТЛИВОСТЕЙ
Глава XII. СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ УПРУГИХ ПЛАСТИН
2. КРУГОВЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ В ПЛАНЕ ПЛАСТИНЫ
3. ПРИМЕНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОДА К УПРУГИМ ПЛАСТИНАМ
4. МНОГОПРОЛЕТНЫЕ ПЛАСТИНЫ
5. РАСЧЕТ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И СОБСТВЕННЫХ ФОРМ НА ОСНОВЕ УТОЧНЕННЫХ ТЕОРИЙ
Глава XIII. СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК
1. КЛАССИФИКАЦИЯ СОБСТВЕННЫХ ФОРМ КОЛЕБАНИЙ
2. КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
3. СФЕРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
4. КОНИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
5. ПОЛОГИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПАНЕЛИ
6. ПРИМЕНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОДА К РАСЧЕТУ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И СОБСТВЕННЫХ ФОРМ КОЛЕБАНИЙ
7. ПЛОТНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
ГЛАВА XIV. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ
1. УСТАНОВИВШИЕСЯ ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВНЕШНИХ СИЛ
2. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ
3. МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФОРМАМ
4. ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДОВ К РАСЧЕТУ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
5. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
6. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
Глава XV. ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
1. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ
2. УСТОЙЧИВОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
3. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
4. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
5. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
6. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К СИСТЕМАМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
7. ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
Глава XVI. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН И УДАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ В УПРУГИХ СИСТЕМАХ
1. ВОЛНЫ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ
2. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ РЕЛЕЯ
3. УПРУГИЕ ВОЛНЫ В СТЕРЖНЯХ
4. СОУДАРЕНИЕ ДВУХ УПРУГИХ ШАРОВ
5. ПРОДОЛЬНЫЙ УДАР В УПРУГИХ СТЕРЖНЯХ
6. ПОПЕРЕЧНЫЙ УДАР ПО УПРУГИМ БАЛКАМ
Часть третья. КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Глава XVII. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕЙ
2. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
3. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
4. МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
5. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ
6. СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕЙ
ГЛАВА XVIII. СЛУЧАЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
2. МЕТОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО МОМЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
3. МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА (ИМПУЛЬСНЫХ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ)
4. МЕТОД СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ
5. СТАЦИОНАРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
6. МЕТОДЫ ТЕОРИИ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ
7. МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЗАДАЧАХ СЛУЧАЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Глава XIX. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
2. МЕТОД СТОХАСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
3. МЕТОД МОМЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
4. СИСТЕМЫ, ВОЗБУЖДАЕМЫЕ БЕЛЫМИ ШУМАМИ
5. СИСТЕМЫ, ВОЗБУЖДАЕМЫЕ ПРОЦЕССАМИ С КОНЕЧНОЙ ДИСПЕРСИЕЙ
Глава XX. СЛУЧАЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
2. МЕТОДЫ СПЕКТРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
3. МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФОРМАМ
4. ШИРОКОПОЛОСНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
ГЛАВА XXI. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВИБРАЦИОННОЙ НАДЕЖНОСТИ
2. КРИТЕРИИ ВИБРАЦИОННОЙ НАДЕЖНОСТИ
3. МЕТОДЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ ФУНКЦИИ НАДЕЖНОСТИ
4. ТЕОРИЯ ВЫБРОСОВ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
5. РАСЧЕТ ВИБРАЦИОННОЙ НАДЕЖНОСТИ