Ãëàâíàÿ > Ôèçèêà > Âèáðàöèè â òåõíèêå, Ò. 1. Êîëåáàíèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô
Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Ìàêåòû ñòðàíèö

Ãëàâà XVI. ÐÀÑÏÐÎÑÒÐÀÍÅÍÈÅ ÂÎËÍ È ÓÄÀÐÍÛÅ ÏÐÎÖÅÑÑÛ Â ÓÏÐÓÃÈÕ ÑÈÑÒÅÌÀÕ

1. ÂÎËÍÛ Â ÍÅÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÎÉ ÓÏÐÓÃÎÉ ÑÐÅÄÅ

Ïîä óïðóãèìè âîëíîâûìè ïðîöåññàìè ïîíèìàþò äèíàìè÷åñêîå ðàñïðîñòðàíåíèå âîçìóùåíèé íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ â óïðóãîé ñðåäå èëè óïðóãèõ òåëàõ.

Èñõîäíûå óðàâíåíèÿ. Ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí â óïðóãîé ñðåäå îïèñûâàåòñÿ äèíàìè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè Ëàìå (26) ãë. VIII, êîòîðûå ïîñëå ââåäåíèÿ âåêòîðà ïåðåìåùåíèé ìîãóò áûòü çàïèñàíû â ôîðìå

Âåêòîð ïåðåìåùåíèé ðàñêëàäûâàåòñÿ íà ýêâèâîëþìèàëüíóþ è áåçâèõðåâóþ ñîñòàâëÿþùèå:

Çäåñü ñêàëÿðíûé è âåêòîðíûé ïîòåíöèàëû, óäîâëåòâîðÿþùèå ñèñòåìå íåçàâèñèìûõ äðóã îò äðóãà âîëíîâûõ óðàâíåíèé

Ýòè óðàâíåíèÿ îïèñûâàþò äâà òèïà âîëí, êîòîðûå ìîãóò ñóùåñòâîâàòü â íåîãðàíè÷åííîé óïðóãîé ñðåäå. Ýòè âîëíû ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ñ ïîñòîÿííûìè ñêîðîñòÿìè

Ñî ñêîðîñòüþ ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ áåçâèõðåâûå âîçìóùåíèÿ, îïèñûâàåìûå ïîòåíöèàëîì Âîëíû ýòîãî òèïà íàçûâàþò äèëàòàöèîííûìè, èëè âîëíàìè ðàñøèðåíèÿ-ñæàòèÿ. Ñî ñêîðîñòüþ ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ âèõðåâûå âîçìóùåíèÿ ïðè íåèçìåííîì îáúåìå, îïèñûâàåìûå âåêòîðíûì ïîòåíöèàëîì Âîëíû ýòîãî òèïà íàçûâàþò ýêâèâîëþìèàëüíûìè (âîëíàìè èñêàæåíèÿ, âîëíàìè ñäâèãà).

Îòíîøåíèå ñêîðîñòåé ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí èñêàæåíèÿ è âîëí ðàñøèðåíèÿ-ñæàòèÿ çàâèñèò òîëüêî îò êîýôôèöèåíòà Ïóàññîíà

Ïîñêîëüêó òî îòíîøåíèå ìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ

Çàìå÷àíèå 1. Åñëè âîçìóùåíèÿ ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ òîëüêî â îäíîì íàïðàâëåíèè, íàïðèìåð â íàïðàâëåíèè îñè è ïåðåìåùåíèÿ çàâèñÿò òîëüêî îò îäíîé êîîðäèíàòû òî èç óðàâíåíèÿ (1) ñëåäóåò

Ïåðâîå óðàâíåíèå îïèñûâàåò ðàñïðîñòðàíåíèå ïðîäîëüíûõ âîçìóùåíèé, ïîýòîìó ñ íàçûâàþò ñêîðîñòüþ ïðîäîëüíûõ âîëí. Âòîðîå è òðåòüå óðàâíåíèÿ îïèñûâàþò ðàñïðîñòðàíåíèå ïîïåðå÷íûõ âîçìóùåíèé, è ïîýòîìó ñ íàçûâàþò ñêîðîñòüþ ïîïåðå÷íûõ âîëí.

Çàìå÷àíèå 2. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (I) ìîæåò áûòü çàïèñàíî äëÿ ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò â ôîðìå (ðåøåíèå Äàëàìáåðà)

ëèáî äëÿ ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî ñëó÷àÿ (êîãäà è çàâèñèò òîëüêî îò ðàäèóñà ) â ôîðìå

Çäåñü íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñû; ñ — ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ. Äâà ñëàãàåìûõ, âõîäÿùèå â (10) è (11), îïèñûâàþò âîëèû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ â äâóõ ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ. Ôóíêöèè îïðåäåëÿþò íà÷àëüíûõ óñëîâèé.

Ïîíÿòèÿ î äèñïåðñèîííîì óðàâíåíèè. Ôàçîâàÿ è ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòè. Àíàëèç îäíîìåðíûõ âîëíîâûõ ÿâëåíèé â íåîãðàíè÷åííîé ñðåäå èëè ñðåäå ñ ãðàíè÷íûìè ïîâåðõíîñòÿìè ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåí íà îñíîâå óðàâíåíèÿ

ãäå îáîáùåííàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ ïåðåìåùåíèé; ìàòðè÷íûé îïåðàòîð, êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ïîëèíîìàìè îò îïåðàòîðîâ è Èññëåäîâàíèå âîëíîâûõ ÿâëåíèé ïðèâîäèò ê èçó÷åíèþ ïîâåäåíèÿ áåñêîíå÷íîé ãàðìîíè÷åñêîé (ìîíîõðîìàòè÷åñêîé) âîëíû

õàðàêòåðèçóåìîé âîëíîâûì ÷èñëîì ÷àñòîòîé è äëèíîé âîëíû — Âåëè÷èíà âõîäÿùàÿ â (13), — êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà (ôèçè÷åñêèé ñìûñë èìååò Èç óðàâíåíèÿ (12) äëÿ âèäà ðåøåíèÿ (13) íåòðóäíî ïîëó÷èòü ñâÿçü ìåæäó âîëíîâûì ÷èñëîì è ÷àñòîòîé ñî:

Óðàâíåíèå òèïà (14) íàçûâàþò äèñïåðñèîííûì.  ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ íàõîäÿò çàâèñèìîñòü ÷àñòîòû îò âîëíîâîãî ÷èñëà

Ôàçîâîé ñêîðîñòüþ íàçûâàþò ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû (13)

Ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ íàçûâàþò ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïàêåòà âîëí, âîëíîâûå ÷èñëà êîòîðûõ ëåæàò âáëèçè çàäàííûõ çíà÷åíèé è ñî (ñîâîêóïíîñòü âîëí ñ áëèçêèìè äëèíàìè). Ñî ñêîðîñòüþ, ðàâíîé ãðóïïîâîé ñêîðîñòè, ïåðåíîñèòñÿ ýíåðãèÿ ðîëíîâûõ äâèæåíèé ñ çàäàííûìè çíà÷åíèÿìè è Ãðóïïîâóþ ñêîðîñòü îïðåäåëÿþò ïî ôîðìóëå

Åñëè ñ îïðåäåëåííàÿ ñîãëàñíî (15), íå çàâèñèò îò âîëíîâîãî ÷èñëà èëè îò äëèíû âîëíû X, òî ôîðìà âîëíû ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè íå èçìåíÿåòñÿ (âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ áåç äèñïåðñèè).  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ôîðìà âîëíû ìåíÿåòñÿ çà ñ÷åò ðàçíîé ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ îòäåëüíûõ êîìïîíåíò. Åñëè (èëè ), òî è ýíåðãèÿ â ýòîì ñëó÷àå ïåðåíîñèòñÿ ìåäëåííåå, ÷åì ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà. Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàþò íîðìàëüíîé äèñïåðñèåé. Åñëè (èëè ), òî Ñêîðîñòü ïåðåíîñà ýíåðãèè áîëüøå, ÷åì ñêîðîñòü ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû. Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàþò àíîìàëüíîé äèñïåðñèåé.

<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Îãëàâëåíèå