Ãëàâà XVI. ÐÀÑÏÐÎÑÒÐÀÍÅÍÈÅ ÂÎËÍ È ÓÄÀÐÍÛÅ ÏÐÎÖÅÑÑÛ Â ÓÏÐÓÃÈÕ ÑÈÑÒÅÌÀÕ
1. ÂÎËÍÛ Â ÍÅÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÎÉ ÓÏÐÓÃÎÉ ÑÐÅÄÅ
Ïîä óïðóãèìè âîëíîâûìè ïðîöåññàìè ïîíèìàþò äèíàìè÷åñêîå ðàñïðîñòðàíåíèå âîçìóùåíèé íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ â óïðóãîé ñðåäå èëè óïðóãèõ òåëàõ.
Èñõîäíûå óðàâíåíèÿ. Ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí â óïðóãîé ñðåäå îïèñûâàåòñÿ äèíàìè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè Ëàìå (26) ãë. VIII, êîòîðûå ïîñëå ââåäåíèÿ âåêòîðà ïåðåìåùåíèé
ìîãóò áûòü çàïèñàíû â ôîðìå
Âåêòîð ïåðåìåùåíèé ðàñêëàäûâàåòñÿ íà ýêâèâîëþìèàëüíóþ è áåçâèõðåâóþ ñîñòàâëÿþùèå:
Çäåñü
ñêàëÿðíûé è âåêòîðíûé ïîòåíöèàëû, óäîâëåòâîðÿþùèå ñèñòåìå íåçàâèñèìûõ äðóã îò äðóãà âîëíîâûõ óðàâíåíèé
Ýòè óðàâíåíèÿ îïèñûâàþò äâà òèïà âîëí, êîòîðûå ìîãóò ñóùåñòâîâàòü â íåîãðàíè÷åííîé óïðóãîé ñðåäå. Ýòè âîëíû ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ñ ïîñòîÿííûìè ñêîðîñòÿìè
Ñî ñêîðîñòüþ
ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ áåçâèõðåâûå âîçìóùåíèÿ, îïèñûâàåìûå ïîòåíöèàëîì
Âîëíû ýòîãî òèïà íàçûâàþò äèëàòàöèîííûìè, èëè âîëíàìè ðàñøèðåíèÿ-ñæàòèÿ. Ñî ñêîðîñòüþ
ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ âèõðåâûå âîçìóùåíèÿ ïðè íåèçìåííîì îáúåìå, îïèñûâàåìûå âåêòîðíûì ïîòåíöèàëîì
Âîëíû ýòîãî òèïà íàçûâàþò ýêâèâîëþìèàëüíûìè (âîëíàìè èñêàæåíèÿ, âîëíàìè ñäâèãà).
Îòíîøåíèå ñêîðîñòåé ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí èñêàæåíèÿ è âîëí ðàñøèðåíèÿ-ñæàòèÿ çàâèñèò òîëüêî îò êîýôôèöèåíòà Ïóàññîíà
Ïîñêîëüêó
òî îòíîøåíèå
ìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ
Çàìå÷àíèå 1. Åñëè âîçìóùåíèÿ ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ òîëüêî â îäíîì íàïðàâëåíèè, íàïðèìåð â íàïðàâëåíèè îñè
è ïåðåìåùåíèÿ çàâèñÿò òîëüêî îò îäíîé êîîðäèíàòû
òî èç óðàâíåíèÿ (1) ñëåäóåò
Ïåðâîå óðàâíåíèå îïèñûâàåò ðàñïðîñòðàíåíèå ïðîäîëüíûõ âîçìóùåíèé, ïîýòîìó ñ íàçûâàþò ñêîðîñòüþ ïðîäîëüíûõ âîëí. Âòîðîå è òðåòüå óðàâíåíèÿ îïèñûâàþò ðàñïðîñòðàíåíèå ïîïåðå÷íûõ âîçìóùåíèé, è ïîýòîìó ñ íàçûâàþò ñêîðîñòüþ ïîïåðå÷íûõ âîëí.
Çàìå÷àíèå 2. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (I) ìîæåò áûòü çàïèñàíî äëÿ ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò â ôîðìå (ðåøåíèå Äàëàìáåðà)
ëèáî äëÿ ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî ñëó÷àÿ (êîãäà è çàâèñèò òîëüêî îò ðàäèóñà
) â ôîðìå
Çäåñü
íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñû; ñ — ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ. Äâà ñëàãàåìûõ, âõîäÿùèå â (10) è (11), îïèñûâàþò âîëèû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ â äâóõ ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ. Ôóíêöèè
îïðåäåëÿþò
íà÷àëüíûõ óñëîâèé.
Ïîíÿòèÿ î äèñïåðñèîííîì óðàâíåíèè. Ôàçîâàÿ è ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòè. Àíàëèç îäíîìåðíûõ âîëíîâûõ ÿâëåíèé â íåîãðàíè÷åííîé ñðåäå èëè ñðåäå ñ ãðàíè÷íûìè ïîâåðõíîñòÿìè ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåí íà îñíîâå óðàâíåíèÿ
ãäå
îáîáùåííàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ ïåðåìåùåíèé;
ìàòðè÷íûé îïåðàòîð, êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ïîëèíîìàìè îò îïåðàòîðîâ è
Èññëåäîâàíèå âîëíîâûõ ÿâëåíèé ïðèâîäèò ê èçó÷åíèþ ïîâåäåíèÿ áåñêîíå÷íîé ãàðìîíè÷åñêîé (ìîíîõðîìàòè÷åñêîé) âîëíû
õàðàêòåðèçóåìîé âîëíîâûì ÷èñëîì
÷àñòîòîé
è äëèíîé âîëíû — Âåëè÷èíà
âõîäÿùàÿ â (13), — êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà (ôèçè÷åñêèé ñìûñë èìååò
Èç óðàâíåíèÿ (12) äëÿ âèäà ðåøåíèÿ (13) íåòðóäíî ïîëó÷èòü ñâÿçü ìåæäó âîëíîâûì ÷èñëîì
è ÷àñòîòîé ñî:
Óðàâíåíèå òèïà (14) íàçûâàþò äèñïåðñèîííûì.  ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ íàõîäÿò çàâèñèìîñòü ÷àñòîòû îò âîëíîâîãî ÷èñëà
Ôàçîâîé ñêîðîñòüþ íàçûâàþò ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû (13)
Ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ íàçûâàþò ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïàêåòà âîëí, âîëíîâûå ÷èñëà êîòîðûõ ëåæàò âáëèçè çàäàííûõ çíà÷åíèé
è ñî (ñîâîêóïíîñòü âîëí ñ áëèçêèìè äëèíàìè). Ñî ñêîðîñòüþ, ðàâíîé ãðóïïîâîé ñêîðîñòè, ïåðåíîñèòñÿ ýíåðãèÿ ðîëíîâûõ äâèæåíèé ñ çàäàííûìè çíà÷åíèÿìè
è
Ãðóïïîâóþ ñêîðîñòü îïðåäåëÿþò ïî ôîðìóëå
Åñëè ñ îïðåäåëåííàÿ ñîãëàñíî (15), íå çàâèñèò îò âîëíîâîãî ÷èñëà
èëè îò äëèíû âîëíû X, òî ôîðìà âîëíû ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè íå èçìåíÿåòñÿ (âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ áåç äèñïåðñèè).  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ôîðìà âîëíû ìåíÿåòñÿ çà ñ÷åò ðàçíîé ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ îòäåëüíûõ êîìïîíåíò. Åñëè
(èëè
), òî
è ýíåðãèÿ â ýòîì ñëó÷àå ïåðåíîñèòñÿ ìåäëåííåå, ÷åì ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà. Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàþò íîðìàëüíîé äèñïåðñèåé. Åñëè
(èëè
), òî
Ñêîðîñòü ïåðåíîñà ýíåðãèè áîëüøå, ÷åì ñêîðîñòü ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû. Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàþò àíîìàëüíîé äèñïåðñèåé.