Главная > Физика > Вибрации в технике, Т. 2. Колебания нелинейных механических систем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. ДЕЙСТВИЕ ВИБРАЦИИ НА СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ. ВИБРАЦИОННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ

В этом пункте рассмотрены основные явления и закономерности, наблюдаемые при действии вибрации на нелинейные дисснпативные системы. К числу таких явлений относится вибрационное перемещение, под которым понимается возникновение «направленного в среднем» изменения (в частности, движения) за счет «ненаправленных в среднем» (колебательных) воздействий [8]. В системах с сухим трением без позиционных сил, имеющих континуум положений равновесия, вибрационное перемещение обычно проявляется в возникновении движения с постоянной или медленно изменяющейся средней скоростью В системах с позиционными силами независимо от характера диссипативных сил вибрационное перемещение часто сводится к так называемому уводу смещению положений равновесия. При этом для систем с сухим трением характерно исчезновение континуума и появление одного или нескольких дискретных положений квазиравновесия; последнее связано с другим важным явлением — с кажущимся превращением сухого трения в вязкое.

Система с вязким или сухим треиием без позиционной силы (простейшая модель процесса виброперемещения).

Некоторые важные закономерности действия вибрации на дисснпативные механические системы можно выяснить при рассмотрении системы с одной степенью свободы, описываемой дифференциальным уравнением, которое приведено в п. 7 таблицы. В этом уравнении величины имеют смысл масс, заданная -периодическая функция некоторая постоянная сила; — сила сопротивления, зависящая от скорости. Указанное уравнение описывает, например, относительное движение тела массы по плоскости, совершающей периодические колебания по закону при действии постоянной силы и силы сопротивления в этом случае То же уравнение при вообще говоря, отличном от от, описывает движение тела, находящегося на неподвижной плоскости, но подверженного действию заданной периодической силы и сил К изучению этого уравнения сводятся и многие другие «одномерные»

задачи теории вибрационного перемещения — задачи о вибрационном разделении сыпучих смесей [8, 10], о вибропогружении свай [2, 8], о движении вибрационных экипажей [8], о движении частиц в колеблющейся жидкости [12, 37].

Полагая скорость движения тела представимой в виде где V — медленная, быстрая -периодическая по составляющие, относя силу к медленным, а силу инерции и силу трения к быстрым силам и учитывая, что придем к следующим уравнениям типа (4), (5):

Таким образом, в данном случае вибрационная сила равна среднему за период значению силы трения.

Рассмотрим сначала случай вязкого трения, когда где Предположим, что сила мала по сравнению с силами инерции и пренебрежем ею при решении уравнения (19). Тогда в первом приближении периодическим решением уравнения (19), удовлетворяющим условию (3), будетф где В случае необходимости это решение можно уточнить, используя метод малого параметра (см. п. 3 гл. II).

Выражение для вибрационной силы [см. (18)] можно представить в форме

Тогда первое уравнение (18) примет вид

При линейном трении, когда и имеем т. е., как и следовало ожидать, медленное движение не зависит от характера вибрации.

При (кубическое сопротивление) т. е. вибрация приводит к появлению постоянной силы и дополнительного линейного сопротивления При бигзрмоническом возмущении имеем и поэтому

Рассмотрим случай сухого трения [4, 8]. Положим

т. е. допустим, что сопротивления движению в положительном и отрицательном направлениях, вообще говоря, неодинаковы (рис. 1, а).

В данном случае нетрудно получить точное решение как исходного дифференциального уравнения, так и уравнения (19), причем выражение для может быть представлено в форме

где через и В обозначены суммарные продолжительности промежутков безразмер ною времени в каждом периоде, в течение которых соответственно (см. рис. 2, на котором для упрощения представлен случай, когда имеется всего по одному такому промежутку; предполагается также,

что остановки тела конечной продолжительности отсутствуют, так что Поскольку - ограниченная периодическая функция принимающая как положительные, так и отрицательные значения, существуют такие значения что при Если сопротивления движению в положительном и отрицательном направлениях неодинаковы (см. рис. 1), то величина возрастает, а величина убывает при увеличении V (при более сложной зависимости от это может быть и не так). Поэтому в указанном случае согласно есть неубывающая функция V вида

где возрастающая функция V, причем, как и выше, Примерный график функции изображен на рис. 1, б; в общем случае он не проходит через начало координат, т. е.

Рис. 1

Рис. 2

Анализ соотношений (18), показывает, что одним из главных результатов действия вибрации на рассматриваемую систему является появление медленной составляющей скорости т.е. возникновение эффекта вибрационного перемещения, необходимое условие этого эффекта — наличие ненулевого корня уравнения

получающегося из (18) или (21) при

Рассмотрим это условие подробнее. При вязком трении представляет интерес случай, когда постоянная сила отсутствует Тогда из (25) вследствие равенства вытекает, что условием возникновения вибрационного перемещения является отличие нуля составляющей вибрационной силы Для этого, в свою очередь, согласно (20) необходимо, чтобы закон изменения вибрационного воздействия был «несимметричен», т. е. чтобы не выполнялось соотношение

Простейший пример несимметричного в указанном условном смысле закона воздействия приведен на рис. 3, а, а симметричного — на рис. 3, б. Симметричным является, в частности, простое гармоническое колебание. Другой возможной причиной вибрационного перемещения может быть неодинаковость силы сопротивления при движении тела в положительном и отрицательном направлениях.

В случае сухого трения возникновение вибрационного перемещения может быть обусловлено тремя факторами.

1. Совместным действием постоянной силы и вибрации. Имеется в виду случай, когда, с одной стороны, сила при отсутствии вибрации не приводит к возникновению

вибрационного перемещения вследствие выполнения условия , а с другой — наличие вибрации при [например, вследствие выполнения равенства (26)] также не приводит к вибрационному перемещению. В этом случае вибрационное перемещение обусловлено вибрационным «сглаживанием» характеристики сухого трения — разрывная характеристика (см. рис. 1, а) преобразуется (по отношению к медленным силам) в непрерывную (см. рис. 1, б), что и приводит к движению системы с некоторой отличной от нуля скоростью Иногда говорят также об эффекте кажущегося превращения сухого трения в вязкое. С иной точки зрения это же явление может быть истолковано как результат снижения (или даже обращения в нуль) эффективных коэффициентов трения при вибрации (см. п. 7),

Рис. 3

2. Неодинаковостью силы сопротивления при движении тела в положительном и отрицательном направлениях. Пусть сила отсутствует и закон вибрационного воздействия симметричен, т. е. справедливо равенство (26). Тогда при имеем поэтому согласно что должно в данном случае привести к вибрационному перемещению.

3. Несимметрией закона вибрационного воздействия. Пусть при промежутки неодинаковы, что может иметь место лишь вследствие несимметрии закона вибрационного воздействия. При этом согласно т. е. возникает вибрационное перемещение.

Заметим, что вибрационное перемещение может возникнуть и при совместном действии трех перечисленных факторов.

Более сложные модели виброперемещения.

В качестве примеров более сложных моделей процессов виброперемещения рассмотрим системы соответственно с двумя и тремя степенями свободы, схемы которых и уравнения движения приведены в пп 8 и 9 таблицы. Первая система представляет собой тело, рассматриваемое в виде материальной точки, которое движется по шероховатой наклонной плоскости, совершающей гармонические колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях [4, 8]. Приняты следующие обозначения: масса тела; ускорение свободного падения; а — угол наклона плоскости к горизонту; соответственно продольная и поперечная постоянные силы, действующие на тело: сила сухого трения; нормальная реакция; амплитуды продольной и поперечной составляющих колебаний плоскости; сдвиг фаз; — частота колебаний; — соответственно коэффициенты трения скольжения и покоя; соответственно коэффициенты восстановления и мгновенного трения при соударении тела с плоскостью;

Через в данном случае обозначены быстро изменяющиеся функции, которые могут иметь по период где Приведенное в п. 8 таблицы приближенное выражение

для вибрационной силы относится лишь к режимам движения с достаточно интенсивным подбрасыванием [8]; о способе его получения см на с 259.

В п. 9 таблицы представлена система с тремя степенями свободы: тяжелая частица помещена в среду, которая совершает горизонтальные круговые поступательные колебания с частотой (О и радиусом траектории [7, 8]. Сила сопротивления относительному смещению частицы в любом горизонтальном направлении а в вертикальном направлении соответствующие силы сопротивления движению причем (вообще говоря, асса частицы с учетом присоединенной массы среды обозначена через а масса среды в объеме, равном объему частицы, через отношение средних плотностей частицы и среды; ускорение свободного падения: проекции относительной скорости частицы в среде. Уравнения движения частицы, составленные при обычных упрощающих предположениях, а также условия, обеспечивающие возможность рассматриваемого вида движения, приведены в п. 9 таблицы. Медленной силой является лишь вес частицы в среде прочие силы считаются быстрыми.

Особенность системы состоит в том, что движение частицы в горизонтальной плоскости является быстрым, а в вертикальном направлении — медленным. Поэтому медленное движение в данном случае, как и в пп. 7 и 8 таблицы, описывается одним уравнением первого порядка. Общий вид уравнений медленного движения для всех трех изученных задач теории вибрационного перемещения также одинаков. Уравнениями быстрого движения в задаче п. 9 таблицы являются яервые два исходных уравнения движения системы; эти уравнения допускают точное решение [7], однако приведенное выражение для вибрационной силы приближенное, полученное в результате пренебрежения силами сопротивления в уравнениях быстрого движения. Из анализа этого выражения следует, что в результате действия вибрации сила сопротивления типа сухого трения трансформировалась в силу нелннейно-вязкого сопротивления (см. п. 7). Если при отсутствии вибрации характерно, что частица может находиться в равновесии в любой точке среды, т. е. обладает континуумом положений равновесия, то при достаточно интенсивной вибрации она непременно погружается (или всплывает).

Результаты решения ряда задач теории вибрационного перемещения подробно изложены в Рассмотренные здесь модели имеют преимущественно иллюстративный характер. Вместе с тем и эти модели позволяют объяснить и описать такие процессы, как вибрационная транспортировка, вибропогружение свай [2, 8], вибрационное разделение сыпучих смесей (сегрегация) [7, 8, 10].

Своеобразные эффекты вибрационного перемещения возникают при колебаниях сосудов с «истой» жидкостью или с жидкостью, содержащей твердые частицы или газовые пузырьки. К таким явлениям относятся, например, возникновение медленных течений жидкости под действием колебаний, вибрационное запирание отверстий в сосудах, сосредоточение частиц или пузырьков в зависимости от конкретных условий в узлах или пучностях стоячих волн, образующихся в жидкости п. Многие из этих эффектов рассмотрены в и в книге 112] К ним относится и уже упоминавшееся (см. п. 4) явление взаимного притяжения или отталкивания двух пульсирующих в жидкости шаров.

Особый класс задач вибрационного перемещения составляют задачи о полете и плавании живых существ (см., например, эти задачи также допускают эффективное использование изложенного выше подхода

Системы с позиционной силой (вибрационный увод).

Характерная особенность всех рассмотренных выше систем состояла в том, что при отсутствии вибрации и при не слишком больших значениях постоянной силы любая точка области возможных значений координат была положением равновесия системы. Наличие вибрации при этом неизменно приводило к исчезновению положений равновесия и изменению одной или нескольких координат с медленно изменяющейся или постоянной скоростью Рассмотрим систему, отличающуюся от изученных выше тем, что медленная сила зависит от координаты х, т. е. является позиционной силой (см. п. 10 таблицы). Предполагаем, что сила такова, что движения, описываемые уравнением

действительно являются медленными (см. ниже). Заметим, что вибрационная сила в уравнении (28) соответствует силе в соответствующем уравнении п. 7 таблицы, а сила связана с наличием силы

Когда силы и малы по сравнению с первом приближении можно считать

Рассмотрим случай вязкого трения, когда Пусть уравнение

имеет изолированный корень которому при отсутствии вибрации соответствует изолированное положение устойчивого равновесия системы При наличии вибрации положения квазиравновесия (т. е. положения равновесия по медленной составляющей), если они существуют, будут определяться из уравнения

отличного от (29). Пусть это уравнение имеет корень обращающийся в при Если все коэффициенты уравнения

описывающего движение вблизи положения квазиравновесня положительны,

то это положение квазиравновесия будет асимптотически устойчивым. В таких случаях говорят о вибрационном смешрнии положения равновесия или о вибрационном уводе. Этот эффект вызывает ошибку в показаниях стрелок приборов, установленных на вибрирующем основании [16].

Из соотношений (32) следует, что вибрации могут вызвать также изменение частот свободных колебаний системы вблизи положения равновесия и даже смену характера его устойчивости. Обе эти закономерности были выявлены на конкретном примере маятника с вибрирующей осью, который также относится к системам изучаемого типа (см. с. 250).

Заметим, что условие медленности движений, описываемых уравнением (31), сводится к требованию, чтобы частота была значительно больше частот свободных колебаний, описываемых этим уравнением.

Рассмотрим случай сухого трения, когда сила определяется соотношениями (22), Пусть по-прежнему уравнение (29) имеет изолированный корень Тогда при отсутствии вибрации исходная система будет иметь бесконечное множество положений равновесия, лежащих в промежутке, определяемом неравенством и содержащем точку этот промежуток часто называют зоной нечувствительности или зоной застоя. При наличии достаточно интенсивной вибрации будет иметь место эффект превращения (по отношению к медленным силам) сухого трения в нелинейно-вязкое, причем возможные (уже дискретные) положения равновесия и их устойчивость по-прежнему будут определяться соотношениями (30) и (32). Из анализа указанных соотношений следует, что иногда рекомендуемый способ устранения зоны нечувствительности прибора наложением вибрации может привести к большей погрешности, чем величина этой зоны, вследствие попутно возникающего увода. Причины появления этого увода аналогичны перечисленным выше причинам возникновения вибрационного перемещения в случае сухого трения Более того, как и при вязком трении, вследствие вибрации положение равновесия может стать неустойчивым

Поведение тела, помещенного в сосуд с вогнутым днищем (рис. 4) иллюстрирует перечисленные закономерности. При отсутствии вибрации в случае вязкого трення тело занимает крайнее нижнее положение равновесия, а в случае сухого трения это тело может находиться в равновесии в любом положении, для которого угол наклона касательной к горизонту а меньше угла трения (рис. 4, а). При интенсивной симметричной вибрации и отсутствии других факторов, создающих асимметрию, тело будет находиться в квазиравновесии вблизи крайнего нижнего положения (рис. 4, б). При наличии факторов асимметрии положение квазиравновесия окажется смещенным по отношению к крайнему нижнему положению, т. е. произойдет увод (рис. 4, в).

Заметим, что приведенные результаты даюг качественное объяснение таким внешне парадоксальным эффектам, как «всплывание» при вибрации тяжелых крупных частиц в среде из легких мелких [10], а также установление неодинаковых уровней сыпучей среды в сообщающихся вибрирующих сосудах [25] (см. т. 4).

Рис. 4

О некоторых экспериментальных и теоретических способах определения вибрационной силы в задачах о вибрационном перемещении. Во многих случаях вибрационная сила или момент могут быть найдены в результате несложного эксперимента Так, в случае движения груза по вибрирующей шероховатой плоскости можно поместить между движущимся с заданной постоянной скоростью V упором и грузом достаточно мягкую пружину (рис 5) Когда с течением времени скорость медленного движения груза примет установившееся значение V, среднее усилие в пружине будет равно вибрационной силе В частности, при неподвижном упоре это усилие будет равно Теоретическое определение как правило, можно выполнить, если известно решение задачи об определении скорости вибрационного перемещения (см [8], а также гл Пусть, например, известно выражение для средней скорости движения тела по наклонной вибрирующей плоскости (см рисунок п. 8 таблицы) Тогда, заменяя в этом выражении величину а на получим искомое соотношение между величинами определяющее зависимость Конкретное приближенное выражение для силы приведенное в п. 8 таблицы, получено именно таким путем 141

Рис. 5

Общие закономерности действия вибрации на системы с трением.

В общей схематической форме результат действия вибрации на рассмотренные системы может быть представлен следующим образом [3, 4].

Для систем с сухим трением:

силы типа сухого трения вибрация — медленные вибрационные силы типа вязкого трения [силы типа дополнительные медленные вибрационные силы типа случайная или детерминированная вибрация.

Для нелинейных систем с вязким трением (сосуды с чистой жидкостью или с жидкостью, содержащей твердые частицы):

силы вязкого трения вибрация медленные силы вязкого трения дополнительные медленные вибрационные силы и соответствующие им потоки случайные или детерминированные относительные колебания твердых частиц в жидкости

Последние слагаемые в правых частях приведенных символических формул указывают на то, что результирующие колебания даже при детерминированном воздействии часто носят случайный характер вследствие статистического характера микросвойств тел или элементов, из которых состоят эти тела.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление