Главная > Физика > Вибрации в технике. Т. 6. Защита от вибрации и ударов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ВИБРОИЗОЛЯТОРЕ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Рассмотрим одномассную систему с нелинейным упругим элементом, подверженную гармоническому воздействию, силовому или кинематическому (рис. 3).

Рис. 2. Виброизолятор с упругими упорами и его характеристика

Рис. 3. Динамические модели нелинейных систем с одиой степенью свободы: а — силовое воздействие; кинематическое воздействие

Пусть нелинейная характеристика упругого элемента, выражающая зависимость восстанавливающей силы от деформации отсчитываемой от положения статического равновесия. Диссипативную силу будем считать пропорциональной скорости деформации

Уравнение движения систем, показанных на рис. 3, записывается в следующей форме:

где масса объекта; в случае силового и в случае кинематического воздействия.

Введя обозначения

приводим уравнение (2) к форме

Свойства системы, описываемой уравнением (2а), рассматривались подробно в гл. V т. 2. Отметим наиболее существенные особенности поведения этой системы, связанные с нелинейностью упругой силы.

В системе (2а) после некоторого переходного процесса, обычно кратковременного, устанавливаются периодические колебания, имеющие либо период (основные вынужденные колебания), либо период где целое число (субгармонические вынужденные колебания порядка Субгармонические колебания реализуются только в нелинейных системах.

Периодическое решение уравнения (2а), имеющее период обычно оказывается близким к гармоническому процессу (высшие гармоники этого решения обычно сравнительно малы по амплитуде) и может поэтому в первом приближении разыскиваться в форме

где смещение середины размаха колебаний от положения статического равновесия; а — амплитуда колебаний сдвиг по фазе между колебаниями и вынуждающей силой. Связь между получается из условия равенства нулю постоянной составляющей силы которое может быть приведено к форме

Из уравнения (4) можно определить зависимость Амплитуда колебаний

Здесь функция выражает зависимость частоты свободных колебаний массы на нелинейной пружине от амплитуды, причем

Зависимость называется скелетной кривой системы. Методы решения уравнения (5) рассмотрены в гл. V т. 2.

После определения амплитуды а из уравнения (5) можно определить сдвиг по фазе

Определив периодическое решение (3), можно найти коэффициент виброизоляции (см. гл. VI), характеризующий в данном случае отношение амплитуд первых гармоник соответствующих сил, ускорений или перемещений:

При фиксированном значении со уравнение (5) может иметь несколько решений которым соответствует несколько различных периодических движений системы с одинаковым периодом В виброизолированной системе с ограничительными упорами (см. рис. 2) одно из этих решений соответствует колебаниям малой амплитуды, при котором система не выходит за пределы области линейности упругой характеристики. Только при реализации этого периодического режима обеспечивается осуществление виброзащитных свойств системы. Остальные периодические решения соответствуют колебаниям, - сопровождающимся соударениями с упорами. Если в системе возникает один из таких режимов, виброизоляционные свойства системы нарушаются. Возникновение в системе того или иного периодического движения зависит от начальных условий, которые в реальных системах обычно не могут быть заданы с достаточной определенностью. «Перескок» системы с одного периодического режима на другой становится возможным в результате случайного толчка или удара. Аналогичные явления могут возникать и в системах с «гладкими» нелинейными характеристиками (см. рис. 1, а и б).

Для обеспечения нормального функционирования виброизолированной системы нужно исключить возможность возникновения в ней опасных режимов. Необходимо таким образом выбирать параметры системы, чтобы в ней оказался возможным только один периодический режим, соответствующий колебаниям малой амплитуды.

Рис. 4. Резонансная кривая нелинейнсго виброизолятора

Рис. 5. Построение скелетной и резонансной кривых при переменной амплитуде динамического воздействия

Решив уравнение (5) при различных значениях можно построить резонансную кривую системы а Одна из возможных форм резонансной кривой показана на рис. же изображена скелетная кривая . В точках резонансная кривая имеет вертикальную касательную. Точки практически совпадают с точками пересечения скелетной и резонансной кривой. Как показано в [105], участки. АВ и CD соответствуют неустойчивым, а следовательно, и нереализуемым практически периодическим решениям. На рис. 4 приведена также кривая ; все точки резонансной кривой, расположенные правее этой линии, соответствуют периодическим режимам, при которых обеспечивается условие виброизоляции Для остальных режимов условие виброизоляции не выполняется.

При в системе возможен только один периодический режим периода поскольку любому значению со из этого диапазона соответствует одно значение а. Однако при колебаниях, соответствующих этому решению, виброизоляция объекта не обеспечивается. При имеются три периодических решения периода Одному из них соответствуют колебания малой амплитуды. Однако существование устойчивого режима с большой амплитудой приводит к недопустимости работы системы в рассматриваемом частотном диапазоне. Случайный толчок может вывести систему на этот режим; при этом величина К окажется существенно больше единицы.

В диапазоне существует только одно периодическое решение периода при котором В этом частотном диапазоне виброизолятор эффективен, При вновь создается опасность выхода системы на режим большой

амплитуды (резонансный режим), соответствующий точкам участка резонансной кривой.

В зависимости от вида нелинейности и закона изменения амплитуды вынуждающей силы при изменении частоты резонансные кривые системы (2а) могут иметь различную форму. Некоторые формы резонансных кривых приведены в табл. 2 гл. V т. 2. Однако для решения вопроса о возможности возникновения в системе нежелательных резонансных периодических режимов нет необходимости строить резонансные кривые. Для этого достаточно определить координаты точек пересечения скелетной кривой с резонансной. В связи с этим анализ нелинейной виброизолированной системы может производиться следующим образом.

1. По заданным параметрам гармонических вибрационных воздействий определяется зависимость

Пример. Кинематическое воздействие на систему задано следующим образом; при при

В этом случае

2. Строится скелетная кривая системы на плоскости в соответствии с уравнением

Пример. На построена скелетная кривая для линейного упругого элемента жесткости с с симметрично расположенными ограничительными упорами (Д — расстояние до упора, равное половине свободного хода,

3. Строится линия предельных амплитуд в соответствии с уравнением

В рассматриваемом примере линия (10) состоит из прямой

на участке и гиперболы

на участке

4. Точки пересечения линий (9) и (10) совпадают с точками пересечения скелетной кривой с резонансной и определяют характер последней.

В рассматриваемом примере резонансная кривая распадается на две ветви: нижнюю, точки которой соответствуют колебаниям, не выходящим за пределы области линейности, и верхнюю, соответствующую резонансным колебаниям, сопровождающимся «стуком об упоры».

Область гарантированной эффективности виброизоляции соответствует значениям где — наибольшая из абсцисс точек пересечения линий (9) и (10).

При эффективность обеспечивается только в том случае, если в системе устанавливается периодический режим, соответствующий точкам нижней ветви Возможность возникновения в этом частотном диапазоне устойчивых периодических движений резонансного характера, соответствующих точкам верхней ветви, приводит к ненадежности системы внбронзоляции

Методы устранения возможности возникновения резонансных режимов. Возможность возникновения резонансных периодических режимов на частотах, лежащих в рабочем диапазоне виброизолятора может быть исключена двумя способами.

1. Увеличением области линейности виброизолятора, т. е. увеличением его свободного хода. Свободный ход должен быть при этом увеличен с таким расчетом, чтобы сохранилась только одна точка пересечения линий (9) и (10),

Так, в примере, приведенном на рис. 5, увеличив свободный до величины можно «поднять» скелетную кривую таким образом, что она окажется выше линии (10) при всех При этом остается лишь одна точка пересечения линий (9) и (10), а следовательно, исчезает верхняя ветвь резонансной кривой

Увеличение области линейности приводит к увеличению габаритов виброизолирующего устройства.

2. Увеличением коэффициента сопротивления при этом линия (10) опускается ниже, что также приводит к исчезновению дополнительных ветвей резонансной кривой и уменьшенню «затягивания» резонанса на основной ветви (рис. 6). Возможности увеличения демпфирования в виброизоляторах с вязким (линейным) трением обычно ограничены. Более эффективным оказывается использование сухого (Клонова) трения.

Безопасное расстояние до ограничительных упоров. В ряде случаев ограничительные упоры имеют большую жесткость, в десятки раз превышающую жесткость основного упругого элемента. В этих случаях целесообразно при исследовании возможности возникновения нелинейных явлений считать упоры абсолютно жесткими.

Рис. 6. Влияние силы сопротивления на форму резонансной кривой

Рис. 7. Скелетная кривая системы с жесткими упорами

Для абсолютно жестких упоров, установленных симметрично на расстоянии А от положения равновесия, скететная кривая имеет форму, показанную на рис. 7. Резонансные режимы в зоне эффективности виброизолятора (т. е. при не могут возникнуть, если для любого выполняется условие

Величина

где максимум определяется для со определяет безопасное расстояние до упора. Если то резонансные колебания в зоне эффективности виброизолятора не могут возникнуть; в этом случае при периодических колебаниях периода система не выходит за пределы области линейности упругой характеристики.

Более того, поскольку скелетная кривая, построенная для упоров любой конечной жесткости (а также для упоров, обладающих любой нелинейной упругой характеристикой) и расположенных на расстоянии, превышающем от положения равновесия, проходит выше линии (при резонансные колебания при выполнении условия (11) не могут возникнуть ни при каких упругих упорах.

В рассмотренном выше примере (см рис. 5) примем, что Тогда

Таким образом, в этой системе безопасное расстояние до упоров существенно превышает максимальную амплитуду периодических колебаний, возникающих в системе при выдерживании этого безопасного расстояния Действительно, максимальная амплитуда

приблизительно равна амплитуде в резонансе

Если учитывать только колебания, возникающие в зоне эффективной виброизоляции, то

Нелинейные явления в виброизоляторах с сухим трением. Уравнение движения системы, содержащей виброизолятор с линейным упругим элементом и демпфером сухого трения, может быть записано в следующей форме:

где отношение силы сухого трения к массе объекта.

Точное решение уравнения (13) получено и исследовано в [254]. В зависимости от соотношения между амплитудой вынуждающей силы и силой сухого трения в системе могут возникнуть различные виды движений.

Если система «заперта» сухим трением. Это означает, что при нулевых начальных условиях объект колеблется вместе с источником и Если принять начальные условия, отличные от нулевых, то в системе возникнут затухающие относительные колебания, при которых система может прийти в положение равновесия, отличное от исходного. Иными словами, система обладает зоной застоя, ширина которой

При начальных условиях система остается в исходном положении

Рис. 8. Резонансные кривые для системы с сухим трением

Если в системе происходят движения с остановками, которые могут быть периодическими с периодом При движениях с остановками максимальное значение абсолютного ускорения движущейся массы лишь незначительно отличается от т. е. виброизоляция оказывается неэффективной. В ряде случаев движение с остановками может фактически не наблюдаться из-за различия между силой трения покоя и силой трения скольжения.

Если то в системе возникают непрерывные периодические колебания периода Амплитуда первой гармоники этих колебаний

Если то в системе при возникает резонанс, при котором амплитуда колебаний теоретически может неограниченно возрастать (так же как в обычной линейной системе без диссипации). Чтобы резонанс не возникал, система должна оставаться «запертой» при

На рис. 8 построены резонансные кривые, соответствующие Здесь амплитуда остается ограниченной. Ее максимальное значение

достигается при

Возможность устранить резонанс, «заперев» систему сухим трением, привела к появлению ряда конструкций виброизоляторов с демпферами сухого трения.

Некоторые параметры таких виброизоляторов (серии АФД и АПН) были приведены в гл. VII.

Рис. 9. Динамические модели виброизоляторов с сухим трением

Оценивая эффективность виброизоляторов с сухим трением при следует иметь в виду следующее обстоятельство. С ростом со величина обычно остается ограниченной, поэтому амплитуда а относительных колебаний уменьшается [см. (15)]. Однако при этом коэффициент виброизоляции не убывает неограниченно. Действительно, сила, передаваемая виброизолятором объекту в случае силового динамического воздействия, или абсолютное ускорение объекта при кинематическом воздействии равны сумме При увеличении со первое слагаемое остается равным по модулю а амплитуда его первой гармоники стремится к

При этом коэффициент виброизоляции, рассчитанный по первой гармонике,

С ростом со стремится к предельному значению

При этом амплитуда динамического воздействия, сообщаемого объекту, приблизительно равна силе сухого трения. Чтобы уменьшить это динамическое воздействие, можно применить включение демпфера сухого трения по схемам, показанным на рис. 9.

В схеме, показанной на рис, 9, а, демпфер сухого трения включается на частотах, при которых

где При больших со неравенство (18) в силу ограниченности нарушается; это означает, что на высоких частотах демпфер остается запертым и масса колеблется на верхней пружине. При этом сила сухого трения не передается на объект. В схеме, показанной на рис. 9, б, демпфер включается при

где . И в этом случае на высоких частотах демпфер выключается.

Виброизолятор с демпфером сухого трения и иелииейиым упругим элементом. Приближенное периодическое решение дифференциального уравнения

описывающего движение системы с нелинейным упругим элементом и демпфером сухого трения, можно искать в форме (3). При этом сохраняется условие (4), связывающее Амплитуда колебаний

где определяется по (6). Фаза колебаний определяется формуле

О формах резонансных кривых см. в [105].

Виброизолятор с внутренним трением и нелинейным упругим элементом. При колебаниях, близких к гармоническим, сила внутреннего трения в материале упругого элемента может быть линеаризована и представлена в форме (см. гл. V):

где — амплитуда и частота колебаний; параметры, характеризующие свойства материала, из которого изготовлен упругий элемент. Периодическое решение уравнения движения

имеющее период можно искать в форме (3) при условии (4). Амплитуда

где Для определения формы резонансных кривых достаточно найти точки пересечения скелетной кривой (9) с линией предельных амплитуд

которые практически совпадают с точками пересечения резонансной и скелетной кривой. Подробнее о форме резонансных кривых см. в [105].

Субгармонические резонансы в системе с нелинейным упругим элементом. Уравнения (2а), (13), (24) могут иметь периодические решения с периодом которым соответствуют субгармонические колебания порядка Субгармонические колебания носят, как правило, резонансный характер; они могут рассматриваться как свободные колебания консервативной системы

поддержанные гармонической вынуждающей силой. Для нормального функционирования виброизоляционной системы возможность возникновения в ней субгармонических резонансов должна быть исключена. Условия возникновения субгармонических резонансов рассматривались в гл. Подавление этих периодических режимов достигается увеличением диссипации в системе. Для определения уровня диссипации, необходимого для подавления в системе (2а) субгармонических колебаний частоты требуется сначала определить амплитуды первой и гармоник периодического решения уравнения (27), имеющего частоту Это решение можно разыскивать в виде ряда Фурье:

Условия подавления субгармонических колебаний порядка в первом приближении записываются в следующей форме:

а) в системе с вязким треннем [уравнение (2а)]

б) в системе с сухим трением [уравнение (13)]

в) в системе с внутренним трением [уравнение (24)]

Определение амплитуд В системе с симметрично расположенными упругими упорами

Здесь расстояние до упоров; и отношение суммарной жесткости основного упругого элемента и упора к жесткости основного элемента; безразмерная частота периодического решения (28); фаза в момент удара об упор, определяемая из уравнения

Решения этого уравнения для различных значений показаны на рис. 10.

Рис. 10. Зависимость момента удара об упор от безразмерной частоты воздействия

Рис. 11. Области существования различных виброударных режимов в системе с упорами: I — удар только о верхний упор; II — удар только о нижний упор; III — удар об оба упора

В системе с жесткими упорами, координаты которых могут возникать субгармонические резонансы с ударами об один из упоров и об оба упора. Условие удара только о первый упор Условие удара только о второй упор

При выполнении обоих условий происходят удары об оба упора. На рис. 11 построены области, в которых возникает каждый из перечисленных режимов;

При ударе только о первый упор

При ударе только о второй упор

При ударах об оба упора

Пример. На систему действует вынуждающая сила, частота которой а амплитуда равна Расстояния до упоров: Необходимо определить силу сухого тречия, достаточную для подавления субгармонических речонаисов.

Поскольку в системе возможны субгармонические резонансы трех порядков:

По рис. 11 находим (при что в первых двух случаях будут происходить удары об оба упора, а в последнем — только о второй упор По (36) находим:

Для по (35) имеем

Таким образом, для подавления всех возможных субгармонических резонаисов должно выполняться условие

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление